Calcule os seguintes limites:
g) \lim _{z \rightarrow 1+i} \frac{z^{2}-z+(1-i)}{z^{2}-2 z+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z \to 1+i} \frac{z^{2}-z+(1-i)}{z^{2}-2z+2}.
Informações dadas (tudo o que sabemos diretamente do enunciado):
  • A variável é z (número complexo).
  • O ponto de interesse é z_0 = 1+i.
  • A expressão é a razão entre dois polinômios em z:
    • Numerador: N(z)=z^{2}-z+(1-i).
    • Denominador: D(z)=z^{2}-2z+2.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular os valores dos polinômios em z_0=1+i para ver se dá uma indeterminação.
Calcular (1+i)^2:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i.
Agora avaliar N(1+i):
N(1+i)= (1+i)^2 - (1+i) + (1-i) = 2i -1 - i +1 - i = 0.
Avaliar D(1+i):
D(1+i)= (1+i)^2 - 2(1+i) + 2 = 2i -2 -2i +2 = 0.
Portanto a forma é indeterminada \displaystyle\frac{0}{0}. Isso indica que (z-(1+i)) é fator comum ao numerador e ao denominador (ou seja, é raiz comum).

Passo 3

Vamos explicar como fatorar polinômios complexos de grau 2 quando conhecemos uma raiz. Para um polinômio quadrático
p(z)=z^2 + az + b,
se r é uma raiz (isto é, p(r)=0), então p(z)=(z-r)(z-s) onde s é a outra raiz. As relações entre coeficientes e raízes são:
r+s = -a,\qquad r s = b.
No nosso caso adaptamos aos coeficientes correspondentes dos polinômios escritos de forma z^2 + (\cdot) z + (\cdot).

Passo 4

Fatorar o numerador N(z)=z^{2}-z+(1-i). As somas e produtos das raízes são:
\text{soma das raízes} = 1,\qquad \text{produto das raízes} = 1-i.íí
Já verificamos que uma raiz é r_1=1+i. Então a outra raiz r_2 satisfaz r_1 + r_2 = 1, logo
r_2 = 1 - r_1 = 1 - (1+i) = -i.
Confirmação do produto:
r_1 r_2 = (1+i)(-i) = -i - i^2 = -i +1 = 1 - i,
que bate com o termo constante. Portanto
N(z)=(z-(1+i))(z - (-i))=(z-(1+i))(z + i).

Passo 5

Fatorar o denominador D(z)=z^{2}-2z+2. Podemos encontrar as raízes resolvendo a equação quadrática:
z = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i.
Logo as raízes são 1+i e 1-i, e assim
D(z)=(z-(1+i))(z-(1-i)).

Passo 6

Como ambos têm o fator comum z-(1+i), podemos cancelar esse fator (a indeterminação é removível). Para z diferente de 1+i a função é igual a
\frac{N(z)}{D(z)} = \frac{(z-(1+i))(z+i)}{(z-(1+i))(z-(1-i))} = \frac{z+i}{z-(1-i)}.
Logo o limite quando z\to 1+i é o mesmo que o valor da função simplificada no ponto:
\lim_{z\to 1+i} \frac{z^{2}-z+(1-i)}{z^{2}-2z+2} = \left.\frac{z+i}{z-(1-i)}\right|_{z=1+i}.

Passo 7

Avaliar a expressão simplificada em z=1+i:
Calcular o numerador:
(1+i)+i = 1 + 2i.
Calcular o denominador:
(1+i) - (1-i) = 1 + i -1 + i = 2i.
Portanto o quociente é
\frac{1+2i}{2i}.
Agora simplificar essa fração. Uma forma direta é separar:
\frac{1+2i}{2i} = \frac{1}{2i} + \frac{2i}{2i} = \frac{1}{2i} + 1.
E \displaystyle\frac{1}{2i} = -\frac{i}{2} (multiplicando numerador e denominador por -i). Assim
\frac{1+2i}{2i} = 1 - \frac{i}{2}.
Também se pode escrever em forma única:
1 - \frac{i}{2} = \frac{2-i}{2}.

Resposta

1-\dfrac{i}{2}

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