Informações dadas (tudo o que sabemos diretamente do enunciado):
A variável é z (número complexo).
O ponto de interesse é z_0 = 1+i.
A expressão é a razão entre dois polinômios em z:
Numerador: N(z)=z^{2}-z+(1-i).
Denominador: D(z)=z^{2}-2z+2.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular os valores dos polinômios em z_0=1+i para ver se dá uma indeterminação.
Calcular (1+i)^2:
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i.
Agora avaliar N(1+i):
N(1+i)= (1+i)^2 - (1+i) + (1-i) = 2i -1 - i +1 - i = 0.
Avaliar D(1+i):
D(1+i)= (1+i)^2 - 2(1+i) + 2 = 2i -2 -2i +2 = 0.
Portanto a forma é indeterminada \displaystyle\frac{0}{0}. Isso indica que (z-(1+i)) é fator comum ao numerador e ao denominador (ou seja, é raiz comum).
Passo 3
Vamos explicar como fatorar polinômios complexos de grau 2 quando conhecemos uma raiz. Para um polinômio quadrático
p(z)=z^2 + az + b,
se r é uma raiz (isto é, p(r)=0), então p(z)=(z-r)(z-s) onde s é a outra raiz. As relações entre coeficientes e raízes são:
r+s = -a,\qquad r s = b.
No nosso caso adaptamos aos coeficientes correspondentes dos polinômios escritos de forma z^2 + (\cdot) z + (\cdot).
Passo 4
Fatorar o numerador N(z)=z^{2}-z+(1-i). As somas e produtos das raízes são:
\text{soma das raízes} = 1,\qquad \text{produto das raízes} = 1-i.
Já verificamos que uma raiz é r_1=1+i. Então a outra raiz r_2 satisfaz r_1 + r_2 = 1, logo
r_2 = 1 - r_1 = 1 - (1+i) = -i.
Confirmação do produto:
r_1 r_2 = (1+i)(-i) = -i - i^2 = -i +1 = 1 - i,
que bate com o termo constante. Portanto
N(z)=(z-(1+i))(z - (-i))=(z-(1+i))(z + i).
Passo 5
Fatorar o denominador D(z)=z^{2}-2z+2. Podemos encontrar as raízes resolvendo a equação quadrática: