Analise a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
a) f(z)=\left\{\begin{array}{c}z^{2}, z \neq i \\\\ 0, z=i\end{array} ; z_{0}=i\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(z)=\begin{cases} z^{2}, & z\neq i,\\[4pt] 0, & z=i, \end{cases}
e pede para analisar a continuidade no ponto z_{0}=i.
Informações relevantes:
  • Para z\neq i, f(z)=z^{2}.
  • Em z=i, f(i)=0.
  • A pergunta é: a função f é contínua em z_{0}=i?]

Passo 2

Recordando a definição de continuidade num ponto (forma intuitiva e prática): uma função f é contínua em z_{0} se e somente se
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=f(z_{0}).
Aqui precisamos verificar se \lim_{z\to i} f(z) existe e se é igual a f(i)=0.
Explicação breve sobre limite no plano complexo: dizer \lim_{z\to i} f(z)=L significa que, quando z se aproxima de i por qualquer direção no plano complexo, os valores f(z) se aproximam de L. Uma forma prática de calcular limites é usar a continuidade de funções elementares (polinômios, potências, somas, produtos): se g(z) é polinomial, então \lim_{z\to a} g(z)=g(a).

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: para z\neq i temos f(z)=z^{2}, e z^{2} é um polinômio (logo contínuo) em todo ponto do plano. Portanto
\lim_{z\to i} f(z)=\lim_{z\to i} z^{2}=i^{2}.
Calculemos i^{2}:
i^{2}=-1.
Alternativa (para ver de maneira mais elementar): escreva z=i+h com h\to 0. Então
f(i+h)=(i+h)^{2}=i^{2}+2ih+h^{2}=-1+2ih+h^{2}.
Quando h\to 0 temos 2ih+h^{2}\to 0, logo f(i+h)\to -1. Assim o limite é -1.

Passo 4

Comparemos o limite com o valor da função no ponto:
  • \lim_{z\to i} f(z)=-1.
  • f(i)=0.
Como -1\neq 0, a igualdade exigida pela definição de continuidade não vale. Logo f não é contínua em z_{0}=i.

Passo 5

Classificação da descontinuidade (útil para a prova): o limite \lim_{z\to i} f(z) existe (vale -1), mas difere do valor dado f(i)=0. Esse tipo de descontinuidade chama-se descontinuidade removível: basta redefinir f(i) igual ao limite para tornar a função contínua. Ou seja, se em vez de f(i)=0 tivéssemos f(i)=-1, então f seria contínua em i.

Passo 6

Resumo prático para a prova (receita rápida):
  • Calcule o limite pela substituição se a função for polinomial ou produto de funções contínuas.
  • Compare com o valor dado no ponto.
  • Se os dois forem iguais, é contínua; se o limite existe e é diferente, é descontinuidade removível; se o limite não existir, é descontinuidade essencial.
Fica tranquilo — aqui o cálculo foi curto: limite -1 e f(i)=0, logo não é contínua. Você consegue!

Resposta

A função não é contínua em z_{0}=i. De fato \lim_{z\to i}f(z)=-1\neq f(i)=0; é uma descontinuidade removível (bastaria definir f(i)=-1).

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