Analise a convergência das integrais:
integral0^pi 1raizt-sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
Conteúdo: integrais impróprias e teste de comparação.

Passo 2

Primeiro identificamos onde a integral pode falhar de convergir. O denominador é raiz t - sin t. Em t=pi, sinpi=0 e raizpi>0, logo não há problema em t=pi. Em t=0, raiz t-sin tto0, então o único possível ponto singular é em t=0.

Passo 3

Para ver o comportamento quando tto0^+, fazemos expansão:
raiz t-sin t= t^1/2-l(t -tfract^36+O(t^5)r) =t^1/2l(1 -t^1/2+O(t^5/2)r)

Passo 4

Logo, para t pequeno, o integrando satisfaz
1raiz t-sin tsim1t^1/2

Passo 5

Sabemos que
integral0^varepsilon t^-1/2,dt=2raizvarepsilon

Passo 6

então pela comparação positiva com t^-1/2 concluímos que a integral converge perto de zero. Não há mais singularidades no intervalo (0,pi] e o integrando é contínuo ali, logo a integral imprópria converge.

Passo 7

Assim, a integral é convergente.

Resposta

A integral integral0^pi1raiz t-sin t,dt converge.

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