Analise a convergência das integrais:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
Conteúdo: integrais impróprias e teste de comparação.
Passo 2
Primeiro identificamos onde a integral pode falhar de convergir. O denominador é
. Em
,
e
, logo não há problema em
. Em
,
, então o único possível ponto singular é em
.
Passo 3
Para ver o comportamento quando
, fazemos expansão:
Passo 4
Logo, para
pequeno, o integrando satisfaz
Passo 5
Sabemos que
Passo 6
então pela comparação positiva com
concluímos que a integral converge perto de zero. Não há mais singularidades no intervalo
e o integrando é contínuo ali, logo a integral imprópria converge.
Passo 7
Assim, a integral é convergente.
Resposta
A integral
converge.