Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u-v) cdot(u+v)=u^2-v^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto escalar entre (u-v) e (u+v) resulta na diferença dos quadrados dos comprimentos de u e v. O conteúdo que vamos usar é a bilinearidade e comutatividade do produto escalar.

Passo 2

Aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar:
(u-v)cdot(u+v)=ucdotu+ucdotv-vcdotu-vcdotv

Passo 3

Usamos a comutatividade do produto escalar ( ucdotv=vcdotu) para cancelar os termos mistos:
ucdotv-vcdotu=0
Logo sobra:
ucdotu-vcdotv

Passo 4

Reconhecemos que ucdotu=|u|^2=u^2 e vcdotv=|v|^2=v^2. Assim obtemos a igualdade desejada.

Resposta

(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = u^{2} - v^{2}

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