Dados vetores
e constantes
, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto escalar entre
e
resulta na diferença dos quadrados dos comprimentos de
e
. O conteúdo que vamos usar é a bilinearidade e comutatividade do produto escalar.
Passo 2
Aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar:
Passo 3
Usamos a comutatividade do produto escalar (
) para cancelar os termos mistos:
Logo sobra:
Passo 4
Reconhecemos que
e
. Assim obtemos a igualdade desejada.
Resposta
(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = u^{2} - v^{2}