Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u times v) cdot(u times v)=(u v)^2-(u cdot v)^2, onde u=|u| e v=|v|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma identidade de álgebra vetorial em R^3, envolvendo produto vetorial e produto escalar. O conteúdo é norma de produto vetorial e relação com produtos escalares, e vamos precisar das definições geométricas:\ a magnitude de utimesv é |u|,|v|,|sintheta| e o produto escalar é ucdotv=|u|,|v|,costheta, onde theta é o ângulo entre u e v.

Passo 2

Usando a definição geométrica da norma do produto vetorial, temos
|utimesv|=|u|,|v|,|sintheta|
Então
(utimesv)cdot(utimesv)=|utimesv|^2=(|u|,|v|)^2sin^2theta

Passo 3

Agora usamos a identidade trigonométrica sin^2theta=1-cos^2theta e a expressão do produto escalar ucdotv=|u|,|v|,costheta. Substituindo em bloco:
(|u|,|v|)^2sin^2theta=(|u|,|v|)^2l(1-cos^2thetar) =|u|^2,|v|^2-(|u|,|v|costheta)^2

Passo 4

Reconhecendo que u=|u|, v=|v| e ucdotv=uvcostheta, chegamos à identidade desejada.

Resposta

(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(uv)2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})2

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