Dados vetores
e constantes
, mostre que:
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para mostrar uma identidade de álgebra vetorial em
, envolvendo produto vetorial e produto escalar. O conteúdo é norma de produto vetorial e relação com produtos escalares, e vamos precisar das definições geométricas:\ a magnitude de
é
e o produto escalar é
, onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 2
Usando a definição geométrica da norma do produto vetorial, temos
Então
Passo 3
Agora usamos a identidade trigonométrica
e a expressão do produto escalar
. Substituindo em bloco:
Passo 4
Reconhecendo que
,
e
, chegamos à identidade desejada.
Resposta
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(uv)2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})2