Calcule as integrais impróprias a seguir.

Passo 1

Temos que calcular a integral integral2^5l(x-tfrac32r)^-2 ,dx. O conteúdo aqui é integração de funções polinomiais (regra de potência), e vamos usar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Observa que a função (x-tfrac32)^-2 é contínua em [2,5], pois para todo x nesse intervalo temos x-tfrac32>0. Logo, não há singularidades e podemos tratar como integral definida comum.

Passo 3

Para encontrar a antiderivada, aplicamos a regra de potência: para integral (x-a)^n,dx com nneq -1, vale integral (x-a)^n,dx=tfrac(x-a)^n+1n+1+C. Aqui temos n=-2, então n+1=-1 e
F(x)=integral (x-tfrac32)^-2,dx = (x-tfrac32)^-1-1= -l(x-tfrac32r)^-1

Passo 4

Agora aplicamos o teorema fundamental do cálculo:
F(5)=-15-tfrac32=-1tfrac72=-27, F(2)=-12-tfrac32=-1tfrac12=-2

Passo 5

Finalmente,
integral2^5(x-tfrac32)^-2,dx = F(5)-F(2)=l(-27r)-(-2)=2-27=127

Resposta

tfrac127

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