Analise a convergência (ou não) das séries a seguir:
sumn=1^infty 2 n^2+3 n+13 n^4+7

Passo 1

A série dada é
sumn=1^infty2n^2+3n+13n^4+7
O conteúdo da matéria envolvido aqui é o estudo de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação (ou comparação limite) e séries do tipo p. Vamos usar esses conceitos para ver se a série converge ou diverge.

Passo 2

Para n muito grande, o termo geral
an=2n^2+3n+13n^4+7
se comporta como
2n^23n^4=23,n^-2
Isso sugere comparar com a série p de termo
bn=1n^2, p=2>1
que sabemos convergir (já que séries p convergem sempre que p>1).

Passo 3

O teste da comparação limite diz que, se
L=limntoinftyanbn
é finito e positivo, então as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Vamos calcular L:
L=limntoinfty2n^2+3n+13n^4+71n^2 =limntoinfty(2n^2+3n+1)n^23n^4+7 =limntoinfty2n^4+3n^3+n^23n^4+7 =23
Aqui temos 0< L=2/3<+\infty.

Passo 4

Como bn=1/n^2 gera uma série convergente (p=2>1) e o limite L está entre 0 e +infty, concluímos pelo teste de comparação limite que a série original também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta por comparação limite com série p de grau 2).

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