Analise a convergência (ou não) das séries a seguir:
Passo 1
A série dada é
O conteúdo da matéria envolvido aqui é o estudo de convergência de séries numéricas, em especial o teste de comparação (ou comparação limite) e séries do tipo p. Vamos usar esses conceitos para ver se a série converge ou diverge.
Passo 2
Para n muito grande, o termo geral
se comporta como
Isso sugere comparar com a série p de termo
que sabemos convergir (já que séries p convergem sempre que p>1).
Passo 3
O teste da comparação limite diz que, se
é finito e positivo, então as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Vamos calcular L:
Aqui temos 0< L=2/3<+\infty.
Passo 4
Como
gera uma série convergente (p=2>1) e o limite L está entre 0 e
, concluímos pelo teste de comparação limite que a série original também converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta por comparação limite com série p de grau 2).