Para qualquer valor de C a função y=cx+1 é uma solução explícita da EDO de primeira ordem
x d yd x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função x d yd x + y = 1 e uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo aqui é verificar se, para qualquer valor de , essa função é uma solução dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais e como substituir a função na equação para verificar se ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y = cx + 1 em relação a d yd x = -cx^2 . Nossa função é:
A derivada de em relação a é , e a derivada de uma constante, que é 1, é zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos substituir x ( -cx^2 ) + ( cx + 1 ) = 1 e na equação diferencial:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, multiplicamos x cdot ( -cx^2 ) = -cx pela derivada:
-cx + cx + 1 = 1
Então, substituímos na equação:

Passo 5

Agora, observe que 1 = 1 se cancela, ficando apenas:
Isso é uma verdade matemática, o que significa que a igualdade foi satisfeita.

Resposta

Portanto, para qualquer valor de , a função é realmente uma solução da equação diferencial .

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