Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove, e se for falsa, dê um contra exemplo.
Se a sequência
converge para 0 , então a série
é convergente.
Se a sequência
Passo 1
O enunciado pergunta se, sempre que uma sequência
converge para zero, a série
também converge. O tema é convergência de séries numéricas e vamos precisar distinguir condição necessária de condição suficiente para a convergência de uma série.
Passo 2
Na teoria de séries, sabemos que uma condição necessária para
convergir é
. Porém, isso não garante convergência: a condição é necessária mas não suficiente. Precisamos, portanto, encontrar um exemplo em que
e mesmo assim
diverge.
Passo 3
Um contraexemplo clássico é a sequência
. De fato, temos
porém a série harmônica
Portanto, a afirmação original é falsa.
Resposta
Falsa. Contraexemplo: seja
. Então
, mas a série
diverge.