Verifique se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove, e se for falsa, dê um contra exemplo.
Se a sequência (an) converge para 0 , então a série sumn=1^infty an é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que uma sequência an converge para zero, a série sumn=1^inftyan também converge. O tema é convergência de séries numéricas e vamos precisar distinguir condição necessária de condição suficiente para a convergência de uma série.

Passo 2

Na teoria de séries, sabemos que uma condição necessária para sum an convergir é anto0. Porém, isso não garante convergência: a condição é necessária mas não suficiente. Precisamos, portanto, encontrar um exemplo em que anto0 e mesmo assim sum an diverge.

Passo 3

Um contraexemplo clássico é a sequência an=1/n. De fato, temos
limntoinfty1n=0,
porém a série harmônica
sumn=1^infty1n é conhecida por divergir (por exemplo, pelo teste da integral ou comparando blocos de termos).
Portanto, a afirmação original é falsa.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: seja an=1/n. Então anto0, mas a série sumn=1^infty1n diverge.

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