Justifique a convergência das séries abaixo e calcule as somas correspondentes:
sumn=2^infty(1n-1-1n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar se a série sumn=2^infty(1n-1-1n+1) converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somados. Além disso, vamos usar o conceito de séries infinitas e como calcular seus limites.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Para n=2: 12-1 - 12+1 = 1 - 13
Para n=3: 13-1 - 13+1 = 12 - 14
Para n=4: 14-1 - 14+1 = 13 - 15
E assim por diante.

Passo 3

Vamos somar esses termos para ver se há um padrão de cancelamento:
S = (1 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + dots
Observamos que -13 do primeiro termo cancela com +13 do terceiro termo, -14 do segundo termo cancela com +14 do quarto termo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série telescópica, onde muitos termos se anulam.

Passo 4

Para formalizar isso, vamos escrever a soma parcial SN da série até o termo N:
SN = sumn=2^N(1n-1 - 1n+1)
Expandindo essa soma, teremos:
SN = (1 - 13) + (12 - 14) + (13 - 15) + dots + (1N-1 - 1N+1)
Como vimos, muitos termos se cancelam, ficando apenas:
SN = 1 + 12 - 1N - 1N+1

Passo 5

Agora, para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = limN to infty (1 + 12 - 1N - 1N+1)
Sabemos que limN to infty 1N = 0 e limN to infty 1N+1 = 0, então:
limN to infty SN = 1 + 12 - 0 - 0 = 32

Resposta

A série sumn=2^infty(1n-1-1n+1) converge e sua soma é 32.

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