Justifique a convergência das séries abaixo e calcule as somas correspondentes:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente justificar se a série
converge e, se sim, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somados. Além disso, vamos usar o conceito de séries infinitas e como calcular seus limites.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os primeiros termos da série para ver o que acontece:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 3
Vamos somar esses termos para ver se há um padrão de cancelamento:
Observamos que
do primeiro termo cancela com
do terceiro termo,
do segundo termo cancela com
do quarto termo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série telescópica, onde muitos termos se anulam.
Passo 4
Para formalizar isso, vamos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Expandindo essa soma, teremos:
Como vimos, muitos termos se cancelam, ficando apenas:
Passo 5
Agora, para encontrar a soma da série infinita, precisamos calcular o limite da soma parcial quando
tende ao infinito:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.