Analise a convergência da seguinte série:
sumn=1^infty[1(2 n-3)(2 n-1)+2^n-15^n]
Se a série convergir, encontre sua soma.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty[1(2n-3)(2n-1)+2^n-15^n]
e pede para testar sua convergência e, se convergir, encontrar sua soma. Vamos dividir essa soma em duas partes mais simples:
S1 = sumn=1^infty1(2n-3)(2n-1) e S2 = sumn=1^infty2^n-15^n

Passo 2

Analisamos S1 usando telescópica. Note que
1(2n-3)(2n-1) = 12l(12n-3-12n-1r)
Logo, a soma parcial até N é
sumn=1^N1(2n-3)(2n-1) = 12l(1-1-12N-1r) = -12l(1+12N-1r)
À medida que Ntoinfty, tfrac12N-1to0, então
S1 = limNtoinftysumn=1^N1(2n-3)(2n-1) = -12

Passo 3

Agora S2 é geométrica. Reescrevendo o termo geral:
2^n-15^n = 12,2^n5^n = 12l(25r)^n
Como l|tfrac25r|<1, a soma é
S2 = 12sumn=1^inftyl(25r)^n = 12cdottfrac251-tfrac25 = 12cdot2/53/5 = 13

Passo 4

Como S1 e S2 convergem, a série original converge e sua soma é
S = S1 + S2 = -12 + 13 = -16

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac16.

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