Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
an=13 n+5

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência an = 13n+5 é crescente, decrescente ou não monótona, e também se ela é limitada. Isso envolve o conteúdo de monotonicidade de sequências e noção de limites e de sequência limitada.

Passo 2

Para testar monotonicidade, usamos o critério de comparar termos consecutivos: se an+1<an para todo n, então a sequência é decrescente.

Passo 3

Calculamos a diferença dos termos consecutivos:
an+1-an = 13(n+1)+5 - 13n+5 = 13n+8 - 13n+5 = -3(3n+8)(3n+5) < 0
Como an+1-an<0 para todo n, concluímos que an+1<an. Logo a sequência é decrescente.

Passo 4

Para checar se é limitada, note que todos os termos são positivos (denominador sempre positivo) e o maior termo é a1=1/8. Assim, 0<an<=1/8 para todo n, ou seja, ela é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/8.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente e limitada, com 0 < an <= tfrac18.

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