Analise a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^nn! [Converge, teste da razão]

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty 2^nn!. O conteúdo aqui é teste da razão para séries de termos positivos, e vamos precisar saber que, se L = limntoinfty an+1an < 1, então a série converge absolutamente.

Passo 2

O teste da razão nos diz que, para an = 2^nn!, devemos calcular o quociente an+1an. Temos
an+1an = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2^n+12^n cdot n!(n+1)! = 2 cdot 1n+1 = 2n+1
Agora basta ver o limite
$$
L = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.
$$

Passo 3

Como L = 0 < 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão (limite do quociente igual a 0, que é menor que 1).

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