Prove formalmente que
lim x 0 x^2=0

Passo 1

Enunciado e conteúdo: precisamos provar formalmente, via definição ε–δ, que
limxto 0x^2 = 0
O conteúdo é definição de limite de função em um ponto, e vamos usar a condição que envolve ε>0 e δ>0.

Passo 2

Definição de limite: diz que limxto af(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, então |f(x)-L|.

Passo 3

Aplicação ao caso: aqui a=0, f(x)=x^2 e L=0. Queremos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que, se 0<|x|, então
|x^2-0|

Passo 4

Simplificação da desigualdade: note que
|x^2-0| = |x|^2
Logo nossa meta vira |x|^2, ou equivalentemente |x|.

Passo 5

Escolha de de: para garantir |x| basta escolher
de
Como varepsilon>0 implica de0, essa escolha faz sentido.

Passo 6

Verificação: se 0<|x|, então
|x^2| = |x|^2 < de
o que é exatamente a condição exigida pela definição de limite.

Passo 7

Conclusão: achamos que, para todo varepsilon>0, ao escolher de, sempre que 0<|x| temos |x^2-0|. Logo
limxto 0x^2 = 0

Resposta

0

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