Verifique se \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5 n}{2 n+1}\right)^{n} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5n}{2n+1}\right)^{n}.
Este é um problema de testes de convergência de séries positivas. Vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy), que é muito eficiente quando o termo geral está elevado à potência n.

Passo 2

No Teste da Raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
onde a_{n} = \left(\frac{5n}{2n+1}\right)^{n}. Temos
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{5n}{2n+1}.
Logo,
L = \lim_{n\to\infty}\frac{5n}{2n+1} = \frac{5}{2}.

Passo 3

O Teste da Raiz diz que:
  • Se L<1, a série converge.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui L=\tfrac{5}{2}>1. Portanto, pela parte do teste que trata de L>1, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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