Analise a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, especificamente a série
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, que são ferramentas que nos ajudam a analisar esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. A gente tem termos da forma
. Note que à medida que
cresce, o denominador também cresce, o que faz com que os termos da série fiquem menores. Mas isso não garante por si só que a série converge.
Passo 3
Vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica onde comparamos a série que estamos analisando com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se nossa série for menor que uma série que converge, então a nossa série também converge.
Passo 4
Observe que
para todo
. Isso significa que:
Então, podemos comparar nossa série com
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série
. Para isso, usamos o Teste da Integral, que diz que a série
converge se
.
Passo 6
No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, pela regra do Teste da Integral, a série
converge.
Passo 7
Como nossa série original
é menor que uma série que converge, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que ela também converge.
Resposta
A série
converge.