Analise a convergência da série sumn=2^infty 1n(1+ln ^2(n))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita, especificamente a série sumn=2^infty 1n(1+ln^2(n)). Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, que são ferramentas que nos ajudam a analisar esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. A gente tem termos da forma 1n(1+ln^2(n)). Note que à medida que n cresce, o denominador também cresce, o que faz com que os termos da série fiquem menores. Mas isso não garante por si só que a série converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Comparação, que é uma técnica onde comparamos a série que estamos analisando com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Se nossa série for menor que uma série que converge, então a nossa série também converge.

Passo 4

Observe que 1 + ln^2(n) > ln^2(n) para todo n >= 2. Isso significa que:
1n(1+ln^2(n)) < 1n ln^2(n)
Então, podemos comparar nossa série com sumn=2^infty 1n ln^2(n).

Passo 5

Agora, vamos analisar a série sumn=2^infty 1n ln^2(n). Para isso, usamos o Teste da Integral, que diz que a série sum 1n (ln n)^p converge se p > 1.

Passo 6

No nosso caso, p = 2, que é maior que 1. Portanto, pela regra do Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1n ln^2(n) converge.

Passo 7

Como nossa série original sumn=2^infty 1n(1+ln^2(n)) é menor que uma série que converge, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty 1n(1+ln^2(n)) converge.

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