Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região contida entre os gráficos das funções f(x)=|x-1| e g(x)=2-x2 em torno da reta x=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área entre as funções $ f(x) = |x - 1| $ e $ g(x) = \frac{2 - x}{2} $ em torno da reta $ x = -1 $. Para isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram para saber os limites de integração. Igualando $ f(x) $ e $ g(x) $:
f(x)
Vamos resolver isso considerando os dois casos do valor absoluto.

Passo 3

Caso 1: $ x - 1 = \frac{2 - x}{2} $
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
x - 1 = 2 - x2
Caso 2: $ -(x - 1) = \frac{2 - x}{2} $
Simplificando:
2(x - 1) = 2 - x 2x - 2 = 2 - x 3x = 4 x = 43
Então, os pontos de interseção são $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula para o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b (a
Aqui, o raio é a distância da função até a reta de rotação $ x = -1 $, ou seja, $ r(x) = x - (-1) = x + 1 $. A altura é a diferença entre as duas funções, $ h(x) = f(x) - g(x) $.

Passo 5

Vamos calcular $ h(x) = |x - 1| - \frac{2 - x}{2} $. Observando o intervalo de integração $ [0, \frac{4}{3}] $, notamos que para $ x < 1 $, $ |x - 1| = 1 - x $, e para $ x \geq 1 $, $ |x - 1| = x - 1 $.
Então, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De $ 0 $ a $ 1 $: $ h(x) = (1 - x) - \frac{2 - x}{2} $
  2. De $ 1 $ a $ \frac{4}{3} $: $ h(x) = (x - 1) - \frac{2 - x}{2} $

Passo 6

Calculando $ h(x) $ para cada intervalo:
Para $ 0 \leq x < 1 $:
h(x)
Para $ 1 \leq x \leq \frac{4}{3} $:
0 <= x < 1

Passo 7

Agora, vamos montar a integral para o volume:
V = 2pi [ integral0^1 ( -x2 ) (x + 1) , dx + integral1^43 ( 3x - 42 ) (x + 1) , dx ]

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 ( -x2 ) (x + 1) , dx = -12 integral0^1 (x^2 + x) , dx = -12 [ x^33 + x^22 ]0^1 = -12 ( 13 + 12 ) = -12 times 56 = -512
Segunda integral:
integral1^43 ( 3x - 42 ) (x + 1) , dx = 12 integral1^43 (3x - 4)(x + 1) , dx
Vamos multiplicar as expressões:
(3x - 4)(x + 1) = 3x^2 + 3x - 4x - 4 = 3x^2 - x - 4
Então,
12 integral1^43 (3x^2 - x - 4) , dx = 12 [ x^3 - x^22 - 4x ]1^43
Calculando os limites:
Para $ x = \frac{4}{3} $:
x = 43
Para $ x = 1 $:
( (43)^3 - (43)^22 - 4 times 43 ) = ( 6427 - 1618 - 163 ) = 6427 - 89 - 163 = 6427 - 2427 - 14427 = -10427
Subtraindo:
x = 1
Multiplicando por $ \frac{1}{2} $:
1^3 - 1^22 - 4 times 1 = 1 - 12 - 4 = -72

Passo 9

Agora, somamos as duas integrais:
V = 2pi ( -512 + -19108 ) = 2pi ( -45108 - -19108 ) = 2pi ( -64108 ) = 2pi times -1627 = -32pi27
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
V = 32pi27

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{32\pi}{27} $ unidades cúbicas.

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