Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região contida entre os gráficos das funções
e
em torno da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área entre as funções $ f(x) = |x - 1| $ e $ g(x) = \frac{2 - x}{2} $ em torno da reta $ x = -1 $. Para isso, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que é ótimo quando a rotação é em torno de uma linha vertical diferente do eixo das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas duas funções se encontram para saber os limites de integração. Igualando $ f(x) $ e $ g(x) $:
Vamos resolver isso considerando os dois casos do valor absoluto.
Passo 3
Caso 1: $ x - 1 = \frac{2 - x}{2} $
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Caso 2: $ -(x - 1) = \frac{2 - x}{2} $
Simplificando:
Então, os pontos de interseção são $ x = 0 $ e $ x = \frac{4}{3} $.
Passo 4
Agora, vamos usar o método dos cascos cilíndricos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, o raio é a distância da função até a reta de rotação $ x = -1 $, ou seja, $ r(x) = x - (-1) = x + 1 $. A altura é a diferença entre as duas funções, $ h(x) = f(x) - g(x) $.
Passo 5
Vamos calcular $ h(x) = |x - 1| - \frac{2 - x}{2} $. Observando o intervalo de integração $ [0, \frac{4}{3}] $, notamos que para $ x < 1 $, $ |x - 1| = 1 - x $, e para $ x \geq 1 $, $ |x - 1| = x - 1 $.
Então, vamos dividir a integral em duas partes:
- De $ 0 $ a $ 1 $: $ h(x) = (1 - x) - \frac{2 - x}{2} $
- De $ 1 $ a $ \frac{4}{3} $: $ h(x) = (x - 1) - \frac{2 - x}{2} $
Passo 6
Calculando $ h(x) $ para cada intervalo:
Para $ 0 \leq x < 1 $:
Para $ 1 \leq x \leq \frac{4}{3} $:
Passo 7
Agora, vamos montar a integral para o volume:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Vamos multiplicar as expressões:
Então,
Calculando os limites:
Para $ x = \frac{4}{3} $:
Para $ x = 1 $:
Subtraindo:
Multiplicando por $ \frac{1}{2} $:
Passo 9
Agora, somamos as duas integrais:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{32\pi}{27} $ unidades cúbicas.