Sabendo que, para
,
Determine o intervalo aberto onde a série converge absolutamente
Passo 1
O enunciado dá a expressão geral das derivadas de uma função f no ponto x: para n=0,1,2,… temos
Queremos então estudar a convergência absoluta da série de Taylor de f em torno de um ponto a. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.
Passo 2
Escrevemos a série de Taylor de f em torno de a como
Substituindo a expressão dada para f^{(n)}(a) obtemos os coeficientes
Passo 3
Aplicamos o teste da razão aos termos gerais
. Calculamos
Passo 4
O teste da razão diz que a série converge absolutamente se esse limite for menor que 1. Logo a condição é
que equivale a
Passo 5
Portanto, o intervalo aberto de convergência absoluta da série de Taylor de f em torno de a é dado por
Em particular, se a>0, isso fica o intervalo (0,2a) e, se a<0, o intervalo (2a,0).
Resposta
A série converge absolutamente para |x−a|<|a|. Se a>0, isso corresponde ao intervalo aberto (0,2a).