Sabendo que, para n=0,1,2, ldots,
f^(n)(x)=2(-1)^n n!x^n+1
Determine o intervalo aberto onde a série converge absolutamente

Passo 1

O enunciado dá a expressão geral das derivadas de uma função f no ponto x: para n=0,1,2,… temos
f^(n)(x)=2(-1)^n,n!x^n+1
Queremos então estudar a convergência absoluta da série de Taylor de f em torno de um ponto a. Vamos usar o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Escrevemos a série de Taylor de f em torno de a como
sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n
Substituindo a expressão dada para f^{(n)}(a) obtemos os coeficientes
cn=f^(n)(a)n!=2(-1)^n,n!a^n+1,n!=2(-1)^na^n+1

Passo 3

Aplicamos o teste da razão aos termos gerais cn(x-a)^n. Calculamos
limntoinfty|cn+1(x-a)^n+1cn(x-a)^n| =limntoinfty|2(-1)^n+1a^n+2a^n+12(-1)^n,(x-a)| =|x-aa|

Passo 4

O teste da razão diz que a série converge absolutamente se esse limite for menor que 1. Logo a condição é
|x-aa|<1
que equivale a
|x-a|<|a|

Passo 5

Portanto, o intervalo aberto de convergência absoluta da série de Taylor de f em torno de a é dado por
xin R:|x-a|<|a|
Em particular, se a>0, isso fica o intervalo (0,2a) e, se a<0, o intervalo (2a,0).

Resposta

A série converge absolutamente para |x−a|<|a|. Se a>0, isso corresponde ao intervalo aberto (0,2a).

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