Calcule a integral dupla integral duplaR y sin (x y) d A, onde R=(x, y): 1 <= x <= 2,0 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
integral duplaR y sin (x y) , dA
Onde a região $ R $ é definida por $ 1 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq \pi $.
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis sobre uma região específica. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como iterada. Isso significa que vamos integrar a função $ y \sin(x y) $ primeiro em relação a $ y $ de 0 a $ \pi $, e depois em relação a $ x $ de 1 a 2:
y sin(x y)

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna, que é:
integral0^pi y sin(x y) , dy
Para resolver isso, vamos precisar usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher $ u = y $ e $ dv = \sin(x y) , dy $.

Passo 4

Calculando $ du $ e $ v $:
du
Para encontrar $ v $, vamos integrar $ dv $:
v
Fazendo a substituição $ t = x y $, então $ dt = x , dy $ ou $ dy = \frac{dt}{x} $. Assim:
du = dy
Desconsiderando a constante de integração $ C $, temos:
v

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral y sin(x y) , dy = u v - integral v , du = y ( -cos(x y)x ) - integral ( -cos(x y)x ) dy
Simplificando:
= -y cos(x y)x + 1x integral cos(x y) , dy

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral restante:
integral cos(x y) , dy
Novamente, usando a substituição $ t = x y $, temos $ dy = \frac{dt}{x} $:
t = x y
Então:
dy = dtx

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral y sin(x y) , dy = -y cos(x y)x + sin(x y)x^2 + C
Agora, precisamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = \pi $:
y = 0

Passo 8

Calculando nos limites:
Para $ y = \pi $:
y = pi
Para $ y = 0 $:
- pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2
Portanto, a integral interna resulta em:
y = 0

Passo 9

Agora, vamos integrar isso em relação a $ x $ de 1 a 2:
x
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral1^2 ( - pi cos(x pi)x + sin(x pi)x^2 ) dx

Passo 10

Essas integrais não têm uma antiderivada elemental, então vamos usar técnicas de integração numérica ou reconhecer que elas se relacionam com funções especiais, como a função integral seno ou cosseno.
Porém, para fins de cálculo simbólico, podemos expressar a resposta final em termos de integrais definidas conhecidas.

Resposta

A integral dupla é igual a:
- pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sin(x pi)x^2 , dx

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