Calcule a integral dupla
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é assim:
Onde a região $ R $ é definida por $ 1 \leq x \leq 2 $ e $ 0 \leq y \leq \pi $.
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função em duas variáveis sobre uma região específica. Para isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como iterada. Isso significa que vamos integrar a função $ y \sin(x y) $ primeiro em relação a $ y $ de 0 a $ \pi $, e depois em relação a $ x $ de 1 a 2:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna, que é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher $ u = y $ e $ dv = \sin(x y) , dy $.
Passo 4
Calculando $ du $ e $ v $:
Para encontrar $ v $, vamos integrar $ dv $:
Fazendo a substituição $ t = x y $, então $ dt = x , dy $ ou $ dy = \frac{dt}{x} $. Assim:
Desconsiderando a constante de integração $ C $, temos:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral restante:
Novamente, usando a substituição $ t = x y $, temos $ dy = \frac{dt}{x} $:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Agora, precisamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = \pi $:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para $ y = \pi $:
Para $ y = 0 $:
Portanto, a integral interna resulta em:
Passo 9
Agora, vamos integrar isso em relação a $ x $ de 1 a 2:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 10
Essas integrais não têm uma antiderivada elemental, então vamos usar técnicas de integração numérica ou reconhecer que elas se relacionam com funções especiais, como a função integral seno ou cosseno.
Porém, para fins de cálculo simbólico, podemos expressar a resposta final em termos de integrais definidas conhecidas.
Resposta
A integral dupla é igual a: