Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada
, encontre:
-
-
Dada
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que eu calcule as derivadas parciais de primeira ordem
e
e as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
.
Informações relevantes dadas:
As perguntas são:
Passo 2
Antes de começar a calcular, vou lembrar (de maneira prática e com calma) a regra que vou usar para derivar quocientes: se eu tenho
então a derivada parcial em relação a
é dada por (regra do quociente)
Aqui
significa "derivada parcial de
em relação a
" — isto é, trato
como constante. O mesmo vale para derivada em relação a
:
Também posso simplificar antes de derivar, ou usar forma de produto: por exemplo escrever
e aplicar regra da cadeia quando for conveniente. Vou escolher a forma que deixe as contas mais limpas passo a passo.
Passo 3
Identifico o numerador e denominador:
Calculo as derivadas parciais simples de
e
:
Esses resultados vêm do fato de que, ao derivar
em relação a
dá
e ao derivar
em relação a
dá
(e vice-versa).
Passo 4
Agora calculo
usando a regra do quociente:
Substituindo
,
,
e
:
Portanto
Passo 5
Faço
pela mesma regra, agora derivando em relação a
:
Com
e
:
Logo
Passo 6
Para as segundas derivadas, uso o resultado já obtido e difiro novamente, tratando a outra variável como constante quando apropriado. Começo por
. Escrevo
numa forma conveniente:
Agora derivo em relação a
. Aqui
é constante (porque ao derivar em
tratamos
como constante). Uso a regra da cadeia para
:
Multiplicando por
:
Ou, em forma fracionária:
Passo 7
Faço
. Parto de
. Agora ao derivar em relação a
, o fator
é constante (pois
é tratado como constante). Aplicando regra da cadeia:
Multiplico por
:
Ou
Passo 8
Agora calculo a derivada mista
. Posso derivar
em relação a
(ou
em relação a
; ambos devem dar o mesmo resultado). Uso
e aplico a regra do produto:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Junto num único denominador
:
(Se eu tivesse derivado
em relação a
obteria a mesma expressão, confirmando que
.)