Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Dada p(x, y)=\frac{x-y}{x+y}, encontre:
  • p_{x} ; p_{y}
  • p_{x x} ; p_{y y} ; p_{x y}

Passo 1

O enunciado fornece a função
p(x,y)=\frac{x-y}{x+y}
e pede que eu calcule as derivadas parciais de primeira ordem \,p_x e \,p_y e as derivadas parciais de segunda ordem \,p_{xx}, \,p_{yy} e \,p_{xy}.
Informações relevantes dadas:
p(x,y)=\frac{x-y}{x+y},\qquad \text{com }x+y\neq0.
As perguntas são:
\text{(1) }p_x,\quad \text{(2) }p_y,\quad \text{(3) }p_{xx},\quad \text{(4) }p_{yy},\quad \text{(5) }p_{xy}.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vou lembrar (de maneira prática e com calma) a regra que vou usar para derivar quocientes: se eu tenho
p(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
então a derivada parcial em relação a x é dada por (regra do quociente)
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}.
Aqui u_x significa "derivada parcial de u em relação a x" — isto é, trato y como constante. O mesmo vale para derivada em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.
Também posso simplificar antes de derivar, ou usar forma de produto: por exemplo escrever \,(x+y)^{-2} e aplicar regra da cadeia quando for conveniente. Vou escolher a forma que deixe as contas mais limpas passo a passo.

Passo 3

Identifico o numerador e denominador:
u(x,y)=x-y,\qquad v(x,y)=x+y.
Calculo as derivadas parciais simples de u e v:
u_x=1,\quad u_y=-1,\qquad v_x=1,\quad v_y=1.
Esses resultados vêm do fato de que, ao derivar x em relação a x 1 e ao derivar y em relação a x 0 (e vice-versa).

Passo 4

Agora calculo \,p_x usando a regra do quociente:
p_x=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}.
Substituindo u_x=1, v_x=1, u=x-y e v=x+y:
p_x=\frac{1\cdot(x+y)-(x-y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{x+y-x+y}{(x+y)^2} =\frac{2y}{(x+y)^2}.
Portanto
p_x=\frac{2y}{(x+y)^2}.

Passo 5

Faço \,p_y pela mesma regra, agora derivando em relação a y:
p_y=\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.
Com u_y=-1 e v_y=1:
p_y=\frac{(-1)(x+y)-(x-y)(1)}{(x+y)^2} =\frac{-x-y-x+y}{(x+y)^2} =\frac{-2x}{(x+y)^2}.
Logo
p_y=-\frac{2x}{(x+y)^2}.

Passo 6

Para as segundas derivadas, uso o resultado já obtido e difiro novamente, tratando a outra variável como constante quando apropriado. Começo por \,p_{xx}. Escrevo p_x numa forma conveniente:
p_x=2y\,(x+y)^{-2}.
Agora derivo em relação a x. Aqui 2y é constante (porque ao derivar em x tratamos y como constante). Uso a regra da cadeia para (x+y)^{-2}:
\frac{\partial}{\partial x}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=-2(x+y)^{-3}\cdot1.
Multiplicando por 2y:
p_{xx}=2y\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big)=-4y\,(x+y)^{-3}.
Ou, em forma fracionária:
p_{xx}=-\frac{4y}{(x+y)^3}.

Passo 7

Faço \,p_{yy}. Parto de p_y=-2x\,(x+y)^{-2}. Agora ao derivar em relação a y, o fator -2x é constante (pois x é tratado como constante). Aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=-2(x+y)^{-3}\cdot1.
Multiplico por -2x:
p_{yy}=-2x\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big)=4x\,(x+y)^{-3}.
Ou
p_{yy}=\frac{4x}{(x+y)^3}.

Passo 8

Agora calculo a derivada mista \,p_{xy}. Posso derivar p_x em relação a y (ou p_y em relação a x; ambos devem dar o mesmo resultado). Uso p_x=2y\,(x+y)^{-2} e aplico a regra do produto:
p_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2y\big)\cdot(x+y)^{-2}+2y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\big((x+y)^{-2}\big).
Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(x+y)^{-2}=-2(x+y)^{-3}\cdot1=-2(x+y)^{-3}.
Substituindo:
p_{xy}=2\,(x+y)^{-2}+2y\cdot\big(-2(x+y)^{-3}\big) = \frac{2}{(x+y)^2}-\frac{4y}{(x+y)^3}.
Junto num único denominador (x+y)^3:
p_{xy}=\frac{2(x+y)-4y}{(x+y)^3}=\frac{2x-2y}{(x+y)^3}=\frac{2(x-y)}{(x+y)^3}.
(Se eu tivesse derivado p_y em relação a x obteria a mesma expressão, confirmando que \,p_{xy}=p_{yx}.)

Resposta

p_x=\dfrac{2y}{(x+y)^2}
p_y=-\dfrac{2x}{(x+y)^2}
p_{xx}=-\dfrac{4y}{(x+y)^3}
p_{yy}=\dfrac{4x}{(x+y)^3}
p_{xy}=\dfrac{2(x-y)}{(x+y)^3}

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