Analise a convergência das séries:
sumn=1^infty n^3+2n^5-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^inftyn^3+2n^5-1
Estamos em conteúdo de testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação limite comparando com a série-p
sum1/n^2, que sabemos convergir pois 2>1.

Passo 2

Definimos
an = n^3+2n^5-1 e bn = 1n^2
Ambas as sequências são positivas para n suficientemente grande (a partir de n=2), então podemos aplicar o teste da comparação limite.

Passo 3

Calculamos o limite
limntoinftyanbn = limntoinfty n^3+2n^5-11n^2 = limntoinfty n^3+2n^5-1,n^2 = limntoinfty n^5+2n^2n^5-1
Divide-se numerador e denominador por n^5:
limntoinfty 1 + 2n^-31 - n^-5 = 1+01-0 =1
Como esse limite é finito e não nulo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento.

Passo 4

Sabemos que
sumn=1^inftybn = sum1/n^2
é convergente (série-p com p=2>1). Logo,
sumn=1^inftyan
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^3+2n^5-1 converge.

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