(3,0) Verifique se a sequência dada pelo termo geral an é convergente ou divergente:
an=[(-1)^n+2] 2 n^2+3n^2+5 n-2

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = l((-1)^n + 2r),2n^2+3n^2+5n-2
e pede para verificar se an é convergente ou divergente. Vamos usar teoria de limites de sequência, separando a parte alternante l((-1)^n+2r) e a parte racional 2n^2+3n^2+5n-2.

Passo 2

Definimos
bn = (-1)^n + 2
Para n par temos (-1)^n=1, logo bn=3. Para n ímpar temos (-1)^n=-1, logo bn=1. Assim bn não converge para um único valor, mas oscila entre 3 e 1.

Passo 3

Analisamos a parte racional
rn = 2n^2+3n^2+5n-2
Dividindo numerador e denominador por n^2, vem
rn = 2 + tfrac3n^21 + tfrac5n - tfrac2n^2 ;xrightarrow[ntoinfty]; 2+01+0-0 = 2

Passo 4

Como
an = bn cdot rn
e rnto 2 enquanto bn assume alternadamente 3 e 1, temos as duas subsequências:
a2k ;xrightarrow[ktoinfty]; 3cdot2 = 6, a2k+1 ;xrightarrow[ktoinfty]; 1cdot2 = 2
Como há dois limites diferentes (6 e 2), a sequência an não converge para um único valor.

Resposta

A sequência é divergente.

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