Analise a convergência das séries:
sumn=1^infty 2^n+1n!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 2^n+1n!
O conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste da razão (ou d’Alembert) que é apropriado quando aparecem fatoriais.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = 2^n+1n!
Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty an+1an

Passo 3

Calculamos
an+1an = 2^(n+1)+1(n+1)!2^n+1n! = 2^n+2(n+1)!cdotn!2^n+1 = 2n+1
Portanto
L = limntoinfty 2n+1 = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 5

Para encontrar a soma, note que
2^n+1n! = 2cdot2^nn!,
logo
sumn=1^infty 2^n+1n! = 2sumn=1^infty 2^nn!
Sabendo que
sumn=0^infty 2^nn! = e^2,
temos
sumn=1^infty 2^nn! = e^2 - 1,
e assim
sumn=1^infty 2^n+1n! = 2l(e^2 - 1r)

Resposta

A série converge absolutamente e tem soma
2l(e^2 - 1r)

Exercícios relacionados