(3,0) Verifique se a sequência dada pelo termo geral an é convergente ou divergente:
an=e^n+1n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an=e^n+1n^3+1
é convergente ou divergente quando ntoinfty.
O conteúdo envolve comparação de crescimentos assintóticos (exponencial versus polinomial) e cálculo de limite de sequência.

Passo 2

Para comparar o crescimento, estudamos o logaritmo natural de an:
ln(an) =lnl(e^n+1r)-lnl(n^3+1r) =(n+1)-lnl(n^3+1r)

Passo 3

Para n grande, ln(n^3+1) cresce como 3ln n, que é muito menor que o termo linear n. Em particular,
n+1-ln(n^3+1);longrightarrow;+infty
Logo ln(an)to+infty, o que implica anto+infty.

Resposta

A sequência diverge, pois anto+infty.

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