Na análise do crescimento de população humanas, um tipo de equação conhecido como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas modelam a população mundial usando a equação logística
. Onde t é o número de anos após o ano de 2000 e P é a população mundial em bilhões de habitantes. Para
, esta equação nos dá
bilhões de habitantes, que é o valor aproximado da população mundial no ano 2000.
Em que ano a população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes?
Em que ano a população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o crescimento da população mundial usando uma equação logística. A gente precisa descobrir em que ano a população vai chegar a 10 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação logística e resolver para $ t $, que representa os anos após o ano 2000.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação logística que foi dada:
Queremos encontrar o valor de $ t $ quando $ \mathrm{P}(t) = 10 $ bilhões.
Passo 3
Vamos substituir $ \mathrm{P}(t) $ por 10 na equação:
Nosso objetivo agora é isolar $ t $.
Passo 4
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos subtrair 61 de ambos os lados para isolar o termo com o $ \mathrm{e} $:
Passo 6
Em seguida, dividimos ambos os lados por 59 para continuar isolando $ \mathrm{e}^{-0,016 t} $:
Passo 7
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Lembrando que $ \ln(\mathrm{e}^x) = x $:
Passo 8
Calculando o logaritmo:
Passo 9
Agora, vamos dividir ambos os lados por -0,016 para encontrar $ t $:
Passo 10
Como $ t $ representa anos após 2000, adicionamos esse valor a 2000 para encontrar o ano:
Resposta
A população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes por volta do ano 2098.