Na análise do crescimento de população humanas, um tipo de equação conhecido como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas modelam a população mundial usando a equação logística P(t)=73,26,1+5,9 e^-0,016 t. Onde t é o número de anos após o ano de 2000 e P é a população mundial em bilhões de habitantes. Para t=0, esta equação nos dá P(t)=6,1 bilhões de habitantes, que é o valor aproximado da população mundial no ano 2000.
Em que ano a população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o crescimento da população mundial usando uma equação logística. A gente precisa descobrir em que ano a população vai chegar a 10 bilhões de habitantes. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular a equação logística e resolver para $ t $, que representa os anos após o ano 2000.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação logística que foi dada:
P(t) = 73,26,1 + 5,9 e^-0,016 t
Queremos encontrar o valor de $ t $ quando $ \mathrm{P}(t) = 10 $ bilhões.

Passo 3

Vamos substituir $ \mathrm{P}(t) $ por 10 na equação:
P(t)
Nosso objetivo agora é isolar $ t $.

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
10 times (6,1 + 5,9 e^-0,016 t) = 73,2
Isso simplifica para:
61 + 59 e^-0,016 t = 73,2

Passo 5

Agora, vamos subtrair 61 de ambos os lados para isolar o termo com o $ \mathrm{e} $:
e

Passo 6

Em seguida, dividimos ambos os lados por 59 para continuar isolando $ \mathrm{e}^{-0,016 t} $:
e^-0,016 t

Passo 7

Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Lembrando que $ \ln(\mathrm{e}^x) = x $:
t

Passo 8

Calculando o logaritmo:
-0,016 t approx ln(0,2068) approx -1,575

Passo 9

Agora, vamos dividir ambos os lados por -0,016 para encontrar $ t $:
t

Passo 10

Como $ t $ representa anos após 2000, adicionamos esse valor a 2000 para encontrar o ano:
t

Resposta

A população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes por volta do ano 2098.

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