Na análise do crescimento de população humanas, um tipo de equação conhecido como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas modelam a população mundial usando a equação logística P(t)=73,26,1+5,9 e^-0,016 t. Onde t é o número de anos após o ano de 2000 e P é a população mundial em bilhões de habitantes. Para t=0, esta equação nos dá P(t)=6,1 bilhões de habitantes, que é o valor aproximado da população mundial no ano 2000.
Qual é a tendência da população mundial a longo prazo?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está lidando com o crescimento da população mundial e usando uma equação logística para modelar isso. A equação dada é:
P(t) = 73,26,1 + 5,9 , e^-0,016 t
Aqui, $ t $ é o número de anos após o ano 2000, e $ \mathrm{P}(t) $ é a população mundial em bilhões de habitantes. Nosso objetivo é descobrir qual é a tendência da população mundial a longo prazo. Para isso, vamos precisar entender como funciona essa equação logística e como calcular o limite dela quando $ t $ vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação logística. Ela é usada para modelar o crescimento de populações que têm um limite máximo, chamado de capacidade de suporte. Diferente do crescimento exponencial, que cresce sem limites, a equação logística mostra que a população vai se aproximando de um valor máximo à medida que o tempo passa.

Passo 3

Para encontrar a tendência a longo prazo da população, precisamos calcular o limite da função $ \mathrm{P}(t) $ quando $ t $ tende ao infinito. Isso significa ver o que acontece com a população quando muitos anos passam.

Passo 4

Vamos analisar a equação:
P(t) = 73,26,1 + 5,9 , e^-0,016 t
Quando $ t $ fica muito grande, o termo $ \mathrm{e}^{-0,016 t} $ se aproxima de zero, porque qualquer número positivo elevado a uma potência negativa muito grande tende a zero. Então, a equação fica:
t

Passo 5

Agora, fazemos a divisão para encontrar o valor final:
73,26,1 approx 12 bilhões de habitantes õ

Resposta

A tendência da população mundial a longo prazo é de aproximadamente 12 bilhões de habitantes.

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