Esboce o gráfico das funções:
f(x)=arcsin (sin (x))

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=arcsin(sin x). O conteúdo é composição de funções trigonométricas e arcoseno, e para resolver vamos usar (1) a periodicidade de sin x de período 2pi e (2) a definição de arcsin, cujo valor está sempre em [-tfracpi2,tfracpi2].

Passo 2

Primeiro passo da resolução: analisar o trecho central. Se x está em [-tfracpi2,tfracpi2], então sin x já varia de -1 a 1 e cai dentro do domínio principal de arcsin. Assim, para xin[-tfracpi2,tfracpi2]:
f(x)=arcsin(sin x)=x

Passo 3

Agora olhe o próximo trecho de comprimento pi. Em [tfracpi2,tfrac3pi2], a função sin x decresce de 1 até -1. Mas arcsin devolve sempre algo em [-tfracpi2,tfracpi2], então ele “reflete” o valor de x. A conta mostra que, para xin[tfracpi2,tfrac3pi2]:
f(x)=arcsin(sin x)=pi - x

Passo 4

Para continuar, note que a cada intervalo de amplitude pi a função troca de inclinação entre +1 e -1. No trecho seguinte [tfrac3pi2,tfrac5pi2], a sin x volta a subir de -1 a 1, e o arcsin traz de volta o valor “deslocado” em 2pi. Dá, para xin[tfrac3pi2,tfrac5pi2]:
f(x)=x-2pi

Passo 5

Repare que todo esse padrão se repete a cada período 2pi. Resumindo de forma geral, para cada inteiro k:
se xinl[-tfracpi2+2kpi,;tfracpi2+2kpir],&f(x)=x-2kpi, se xinl[tfracpi2+2kpi,;tfrac3pi2+2kpir],&f(x)=pi - x+2kpi

Passo 6

Com isso, ao esboçar, você terá um “zig-zag” periódico de período 2pi, com segmentos de reta de inclinação +1 em cada [-tfracpi2+2kpi,tfracpi2+2kpi] e de inclinação -1 em cada [tfracpi2+2kpi,tfrac3pi2+2kpi].

Resposta

O gráfico é uma função dentada (zig-zag) periódica de período 2pi, dada por:
se xin[-tfracpi2+2kpi,;tfracpi2+2kpi],&f(x)=x-2kpi, se xin[tfracpi2+2kpi,;tfrac3pi2+2kpi],&f(x)=pi - x+2kpi, kinZ

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