Analise a curva dada por f(x)=x^2-x1+3 x^2, de acordo com o domínio da função.

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da curva definida por
f(x)=x^2-x1+3x^2
incluindo domínio, interceptos, limites (assíntotas) e monotonicidade via derivada.

Passo 2

Para encontrar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero:
1+3x^2neq0
Como dom f = R para todo , temos . Portanto

Passo 3

Os interceptos são dados por:
  • Intercepto em f(0)=0Longrightarrow(0,0) : f(-x)=x^2+x1+3x^2neq pm f(x) implica
  • Zeros de : numerador leva a ou . Logo outro ponto na curva é .
    A função não é nem par nem ímpar, pois

Passo 4

Para limxtopminftyf(x) =limxtopminftyx^2-x3x^2+1 =13 temos
Logo há assíntota horizontal . Não surgem assíntotas verticais pois o denominador nunca zera.

Passo 5

Usando a regra do quociente,
f'(x) =(2x-1)(1+3x^2) - (x^2-x),6x(1+3x^2)^2 =3x^2+2x-1(1+3x^2)^2
Zerando o numerador:
3x^2+2x-1=0 Longrightarrow x=-1ou x=tfrac13
Como f(-1)=1-(-1)1+3= 24=12, , o sinal de fl(tfrac13r) =tfrac19-tfrac131+tfrac13 =-tfrac29tfrac43 =-tfrac16 é o do numerador, que é positivo para e para , e negativo em . Consequentemente:
  • cresce em e em .
  • decresce em .
    Há, portanto, um máximo local em com
e um mínimo local em com

Resposta

Domínio: .
Interceptos: e .
Assíntota horizontal: .
Monotonicidade: cresce em e ; decresce em .
Extremos locais: máximo em e mínimo em .

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