Encontre o ponto sobre a curva y=raizx que está mais próximo do ponto (3,0).
Dica, sejam dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), a distância entre os dois pontos (D) é dada por
D^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

Passo 1

No exercício, queremos encontrar sobre a curva y=raizx o ponto que tem a menor distância até o ponto (3,0). O conteúdo envolve minimização de função e derivadas, e vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e cálculo de derivada para achar o mínimo.

Passo 2

Expressamos o quadrado da distância D^2 entre um ponto genérico (x, raizx) da curva e o ponto (3,0). Aplicando a fórmula:
D^2 = (x - 3)^2 + (raizx - 0)^2 = (x - 3)^2 + x

Passo 3

Definimos a função f(x) = D^2 = x^2 - 5x + 9. Para encontrar o valor de x que minimiza f, calculamos sua derivada e igualamos a zero:
f'(x) = 2x - 5 = 0 implies x = tfrac52

Passo 4

Verificamos que f''(x) = 2 > 0, confirmando que é um mínimo. Agora, achamos a coordenada y correspondente:
y = raiztfrac52 = tfracraiz102

Resposta

O ponto da curva mais próximo de (3,0) é (52,raiz102).

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