Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado.
\mathrm{f}(\mathrm{z})=\log \left(\mathrm{z}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{f}(\mathrm{z})=\log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr) e pede que eu analise a derivabilidade dessa função (ou seja, onde ela é diferenciável/holomorfa) e que eu calcule o valor da derivada em um ponto apropriado. Informações relevantes fornecidas:
  • A variável \mathrm{z} é complexa.
  • A função \log é o logaritmo complexo (que é multivalorado, comumente trabalhamos com a escolha do ramo principal \Log cuja descontinuidade está em (-\infty,0]).
  • Preciso indicar onde \log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr) está bem definida e diferenciável, e dar um exemplo concreto de cálculo da derivada num ponto onde a função é diferenciável.

Passo 2

Primeiro, um mini-aula sobre o logaritmo complexo para ficar tranquilo na prova: o logaritmo complexo de um número w\in\mathbb{C}\setminus\{0\} pode ser escrito como
\log w = \ln|w| + i\Arg(w),
onde \Arg(w) é o argumento de w. Como \Arg é multivalorado ( \Arg(w)=\theta+2k\pi), \log é multivalorado; o ramo principal \Log w toma \Arg(w)\in(-\pi,\pi] e tem uma descontinuidade ao longo do semieixo real negativo (-\infty,0]. Importante para derivadas: onde um ramo de \log é holomorfo (analítico), vale
\frac{d}{dw}\log w = \frac{1}{w},
para w no domínio do ramo escolhido (em particular w\neq 0 e fora do corte).

Passo 3

Agora aplico isso à função \mathrm{f}(\mathrm{z})=\log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr). A expressão só faz sentido se o argumento do logaritmo, \mathrm{z}^{2}, não estiver no corte do ramo escolhido. Usando o ramo principal como referência, é necessário que
\mathrm{z}^{2}\notin(-\infty,0].
Vou caracterizar os \mathrm{z} que violam isso. Escrevendo \mathrm{z}=r e^{i\theta} com r>0 e \theta\in(-\pi,\pi], temos \mathrm{z}^{2}=r^{2}e^{i2\theta}. Para que \mathrm{z}^{2}\in(-\infty,0] precisamos que 2\theta\equiv\pi\pmod{2\pi}, isto é \theta\equiv\pm\pi/2. Isso significa que exatamente os \mathrm{z} puramente imaginários (incluindo \mathrm{z}=0) dão \mathrm{z}^{2} real não-positivo:
\mathrm{z}=it\quad(t\in\mathbb{R})\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{z}^{2}=-t^{2}\in(-\infty,0].
Portanto \log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr) não está definido (no ramo principal) quando \mathrm{z} está sobre o eixo imaginário.

Passo 4

Conclusão sobre domínio de definição/diferenciabilidade: com a escolha usual do ramo principal para \log,
\mathrm{f}(\mathrm{z})=\log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr)
está bem definida e é holomorfa em cada componente conectada de
\mathbb{C}\setminus\{it:\\ t\in\mathbb{R}\},
isto é, em \mathbb{C} com o eixo imaginário removido. Em particular, a função não é definida (logo não é diferenciável) para \mathrm{z} puramente imaginários, nem em \mathrm{z}=0.

Passo 5

Agora a derivada: pense na composição w=\mathrm{z}^{2} e \log(w). Onde ambas as funções são holomorfas (isto é, para \mathrm{z} tal que \mathrm{z}^{2} está fora do corte e \mathrm{z}\neq 0), posso usar a regra da cadeia complexa exatamente como na parte real. Temos \dfrac{d}{dw}\log w = \dfrac{1}{w} e \dfrac{d}{d\mathrm{z}}(\mathrm{z}^{2})=2\mathrm{z}. Assim, para \mathrm{z} no domínio (ou seja \mathrm{z}\notin\{it:t\in\mathbb{R}\}),
\mathrm{f}'(\mathrm{z}) = \frac{d}{d\mathrm{z}}\log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr) = \frac{1}{\mathrm{z}^{2}}\cdot 2\mathrm{z} = \frac{2}{\mathrm{z}}.
Observação didática: embora \log seja multivalorado, qualquer escolha contínua de ramo em uma região conexa livre do corte permite escrever localmente \log(\mathrm{z}^{2})=2\Log(\mathrm{z}) (até constantes 2\pi i k), e a derivada da constante desaparece, dando o mesmo resultado \mathrm{f}'(\mathrm{z})=2/\mathrm{z}.

Passo 6

Para responder à parte prática (“calcule o valor da derivada em um ponto adequado”), escolho um ponto simples e claramente dentro do domínio, por exemplo \mathrm{z}=1 (que não está no eixo imaginário). Aplicando a fórmula:
\mathrm{f}'(1)=\frac{2}{1}=2.
Também, só para reforçar, em \mathrm{z}=-1 (também permitido) teria \mathrm{f}'(-1)=\dfrac{2}{-1}=-2.

Resposta

A função \mathrm{f}(\mathrm{z})=\log\!\bigl(\mathrm{z}^{2}\bigr) é holomorfa em \mathbb{C}\setminus\{it:\\ t\in\mathbb{R}\} (isto é, fora do eixo imaginário).
A derivada é \mathrm{f}'(\mathrm{z})=\dfrac{2}{\mathrm{z}} para todo \mathrm{z} nesse domínio.
Por exemplo, \mathrm{f}'(1)=2.

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