Analise a derivabilidade das funções abaixo. Calcule o valor da derivada em um ponto adequado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu analise a derivabilidade dessa função (ou seja, onde ela é diferenciável/holomorfa) e que eu calcule o valor da derivada em um ponto apropriado. Informações relevantes fornecidas:
- A variável
é complexa. - A função
é o logaritmo complexo (que é multivalorado, comumente trabalhamos com a escolha do ramo principal cuja descontinuidade está em ). - Preciso indicar onde
está bem definida e diferenciável, e dar um exemplo concreto de cálculo da derivada num ponto onde a função é diferenciável.
Passo 2
Primeiro, um mini-aula sobre o logaritmo complexo para ficar tranquilo na prova: o logaritmo complexo de um número
pode ser escrito como
onde
é o argumento de
. Como
é multivalorado (
),
é multivalorado; o ramo principal
toma
e tem uma descontinuidade ao longo do semieixo real negativo
. Importante para derivadas: onde um ramo de
é holomorfo (analítico), vale
para
no domínio do ramo escolhido (em particular
e fora do corte).
Passo 3
Agora aplico isso à função
. A expressão só faz sentido se o argumento do logaritmo,
, não estiver no corte do ramo escolhido. Usando o ramo principal como referência, é necessário que
Vou caracterizar os
que violam isso. Escrevendo
com
e
, temos
. Para que
precisamos que
, isto é
. Isso significa que exatamente os
puramente imaginários (incluindo
) dão
real não-positivo:
Portanto
não está definido (no ramo principal) quando
está sobre o eixo imaginário.
Passo 4
Conclusão sobre domínio de definição/diferenciabilidade: com a escolha usual do ramo principal para
,
está bem definida e é holomorfa em cada componente conectada de
isto é, em
com o eixo imaginário removido. Em particular, a função não é definida (logo não é diferenciável) para
puramente imaginários, nem em
.
Passo 5
Agora a derivada: pense na composição
e
. Onde ambas as funções são holomorfas (isto é, para
tal que
está fora do corte e
), posso usar a regra da cadeia complexa exatamente como na parte real. Temos
e
. Assim, para
no domínio (ou seja
),
Observação didática: embora
seja multivalorado, qualquer escolha contínua de ramo em uma região conexa livre do corte permite escrever localmente
(até constantes
), e a derivada da constante desaparece, dando o mesmo resultado
.
Passo 6
Para responder à parte prática (“calcule o valor da derivada em um ponto adequado”), escolho um ponto simples e claramente dentro do domínio, por exemplo
(que não está no eixo imaginário). Aplicando a fórmula:
Também, só para reforçar, em
(também permitido) teria
.
Resposta
A função
é holomorfa em
(isto é, fora do eixo imaginário).
A derivada é para todo
nesse domínio.
Por exemplo, .
A derivada é
Por exemplo,