Calcule todos os valores de
que satisfazem a expressão:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os valores complexos
tais que
Informações dadas:
- A incógnita é o número complexo
. - Do lado direito temos o número complexo
, cuja magnitude e argumento podemos identificar.
O objetivo é listar todos os(são normalmente infinitos, por causa da periodicidade do argumento complexo).
Passo 2
Vou escrever
em coordenadas reais e imaginárias, que é uma maneira direta e didática de lidar com exponenciais complexas:
onde
e
são números reais (a parte real e a parte imaginária de
). Então
Isto usa a propriedade
válida para
. A vantagem é separar a magnitude
(real positiva) da parte angular
.
Passo 3
Agora escrevo o lado direito em forma polar (módulo e argumento).
O número tem módulo
e argumento
(ou, equivalentemente,
); por isso
O número
onde
porque o argumento é definido módulo
. Assim o módulo é
e os argumentos possíveis são
.
Passo 4
Comparando as duas escritas (passo 2 e passo 3),
Para dois números complexos em forma
serem iguais, seus módulos devem ser iguais e seus argumentos devem coincidir modulo
. Logo obtemos o sistema:
Passo 5
Resolvo as equações:
Da primeira,
Da primeira,
Da segunda já está resolvida:
,
.
Portanto
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (para dar confiança): substituindo
em
,
como desejado (usando
e
).