Calcule todos os valores de z que satisfazem a expressão:
\mathrm{e}^{\mathrm{z}-1}=-\mathrm{ie}^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os valores complexos z tais que
\mathrm{e}^{\mathrm{z}-1} = -\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{3}.
Informações dadas:
  • A incógnita é o número complexo z.
  • Do lado direito temos o número complexo -\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{3}, cuja magnitude e argumento podemos identificar.
    O objetivo é listar todos os z (são normalmente infinitos, por causa da periodicidade do argumento complexo).

Passo 2

Vou escrever z em coordenadas reais e imaginárias, que é uma maneira direta e didática de lidar com exponenciais complexas:
z = x + \mathrm{i}y,
onde x e y são números reais (a parte real e a parte imaginária de z). Então
\mathrm{e}^{\mathrm{z}-1} = \mathrm{e}^{x-1+\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{x-1}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}y}.
Isto usa a propriedade \mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b} válida para a,b\in\mathbb{C}. A vantagem é separar a magnitude \mathrm{e}^{x-1} (real positiva) da parte angular \mathrm{e}^{\mathrm{i}y}.

Passo 3

Agora escrevo o lado direito em forma polar (módulo e argumento).
O número -\mathrm{i} tem módulo 1 e argumento -\tfrac{\pi}{2} (ou, equivalentemente, \tfrac{3\pi}{2}); por isso
-\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{3} = \mathrm{e}^{3}\cdot(-\mathrm{i}) = \mathrm{e}^{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\,-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\,)},
onde k\in\mathbb{Z} porque o argumento é definido módulo 2\pi. Assim o módulo é \mathrm{e}^{3} e os argumentos possíveis são -\tfrac{\pi}{2}+2k\pi.

Passo 4

Comparando as duas escritas (passo 2 e passo 3),
\mathrm{e}^{x-1}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \mathrm{e}^{3}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\,-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\,)}.
Para dois números complexos em forma re^{\mathrm{i}\theta} serem iguais, seus módulos devem ser iguais e seus argumentos devem coincidir modulo 2\pi. Logo obtemos o sistema:
\mathrm{e}^{x-1} = \mathrm{e}^{3} \qquad\text{e}\qquad y = -\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Resolvo as equações:
Da primeira,
\mathrm{e}^{x-1}=\mathrm{e}^{3}\quad\Longrightarrow\quad x-1=3\quad\Longrightarrow\quad x=4.
Da segunda já está resolvida: y=-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Portanto
z = x+\mathrm{i}y = 4 + \mathrm{i}\Bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\Bigr) = 4 - \tfrac{\pi}{2}\mathrm{i} + 2\pi \mathrm{i}k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação rápida (para dar confiança): substituindo z=4-\tfrac{\pi}{2}\mathrm{i}+2\pi\mathrm{i}k em \mathrm{e}^{\mathrm{z}-1},
\mathrm{e}^{\mathrm{z}-1}=\mathrm{e}^{3+\mathrm{i}(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)} =\mathrm{e}^{3}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{\pi}{2}}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi} =\mathrm{e}^{3}(-\mathrm{i})\cdot 1 =-\mathrm{i}\,\mathrm{e}^{3},
como desejado (usando \mathrm{e}^{\mathrm{i}2k\pi}=1 e \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2}=-\mathrm{i}).

Resposta

z=4-\tfrac{\pi}{2}\mathrm{i}+2\pi \mathrm{i}k,\quad k\in\mathbb{Z}

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