Analise a diferenciabilidade da função
abaixo no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede pra analisar se a função de duas variáveis g(x,y)=√|x|·sin(y) é diferenciável em (0,0). Vamos usar o conteúdo de diferenciabilidade em ℝ²: calcular continuidade, derivadas parciais em (0,0) e verificar se o resto da aproximação linear é pequeno o(√(h²+k²)).
Passo 2
Primeiro vemos a continuidade em (0,0). Note que
Como (x,y)→(0,0) implica √|x|→0 e |y|→0, o produto vai a zero. Logo g é contínua em (0,0).
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para x:
Para y:
Passo 4
A forma linear candidata é L(h,k)=0·h+0·k=0. O resto da aproximação é
Para verificar diferenciabilidade, examinamos
Isso mostra que R(h,k)=o(√(h²+k²)), ou seja, g é diferenciável em (0,0).
Passo 5
Concluímos que g é diferenciável no ponto (0,0) e seu gradiente ali é (0,0).
Resposta
g é diferenciável em (0,0) e Dg(0,0)=(0,0).