Analise a diferenciabilidade da função g: R^2 R abaixo no ponto (0,0).
g(x, y)=raiz|x| sin (y)

Passo 1

O enunciado pede pra analisar se a função de duas variáveis g(x,y)=√|x|·sin(y) é diferenciável em (0,0). Vamos usar o conteúdo de diferenciabilidade em ℝ²: calcular continuidade, derivadas parciais em (0,0) e verificar se o resto da aproximação linear é pequeno o(√(h²+k²)).

Passo 2

Primeiro vemos a continuidade em (0,0). Note que
|g(x,y)|=raiz|x|,|sin(y)|<=raiz|x|,|y|
Como (x,y)→(0,0) implica √|x|→0 e |y|→0, o produto vai a zero. Logo g é contínua em (0,0).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em (0,0). Para x:
partial gpartial x(0,0)=limhto0g(h,0)-g(0,0)h =limhto0raiz|h|sin(0)h=0
Para y:
partial gpartial y(0,0)=limkto0g(0,k)-g(0,0)k =limkto0raiz0sin(k)k=0

Passo 4

A forma linear candidata é L(h,k)=0·h+0·k=0. O resto da aproximação é
R(h,k)=g(h,k)-L(h,k)=raiz|h|sin(k)
Para verificar diferenciabilidade, examinamos
|R(h,k)|raizh^2+k^2<=raiz|h|,|sin(k)|raizh^2+k^2<=raiz|h|,|k||k|=raiz|h|xrightarrow[(h,k)to(0,0)]0
Isso mostra que R(h,k)=o(√(h²+k²)), ou seja, g é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Concluímos que g é diferenciável no ponto (0,0) e seu gradiente ali é (0,0).

Resposta

g é diferenciável em (0,0) e Dg(0,0)=(0,0).

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