Analise a diferenciabilidade de f no ponto (2,1) da função
f(x, y)=cc x y-x-2 y+2(x-2)^2+(y-1)^2 & se (x, y) neq(2,1), 0 & se (x, y)=(2,1)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x,y)= dfracxy - x - 2y + 2(x-2)^2 + (y-1)^2,& (x,y)neq(2,1), 0,& (x,y)=(2,1)
Queremos verificar se f é diferenciável em (2,1). Para isso vamos (a) estudar a continuidade em (2,1) via mudanças de variável e limites direcionais e (b) lembrar que, se não for contínua, não pode ser diferenciável.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
u = x-2, v = y-1,
de modo que (u,v)=(0,0) corresponde a (x,y)=(2,1). Para (x,y)neq(2,1) (isto é, (u,v)neq(0,0)) o numerador fica
xy - x -2y +2 = (2+u)(1+v) - (2+u) -2(1+v) +2 = uv,
e o denominador é u^2+v^2. Logo
f(x,y)=uvu^2+v^2quando (u,v)neq(0,0),
e f(2,1)=f(0,0)=0.

Passo 3

Para testar a continuidade de f em (0,0), consideramos o limite ao longo de retas v = m,u. Substituindo temos
f(u,m,u)=u,(m,u)u^2+(m,u)^2 =m,u^2u^2(1+m^2) =m1+m^2
Esse valor depende de m. Em particular, se m=0 o limite vale 0, mas se m=1 vale tfrac12. Como não há um único valor,
lim(u,v)to(0,0)f(u,v)
não existe. Portanto f não é contínua em (2,1).

Passo 4

Como diferenciabilidade em um ponto exige, antes de tudo, continuidade nesse ponto, concluímos que f não é diferenciável em (2,1).

Resposta

f não é diferenciável em (2,1).

Exercícios relacionados