Seja g(x, y)=rllx^2+y^2+7, & se & x^2+y^2 <= 4 k, & se & x^2+y^2>4
a) Esboce o gráfico de g(x, y) para k=15
b) Determine k de modo que g seja contínua em todo plano

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
g(x,y)= x^2+y^2+7,&se x^2+y^2<= 4, k,&se x^2+y^2>4,
e pede em (a) um esboço de g quando k=15 e em (b) o valor de k que torne g contínua em todo o plano. O conteúdo é análise de superfícies em R^2 e continuidade em contornos.

Passo 2

Para ,x^2+y^2<= 4 temos uma porção de paraboloide circular descrita por
z = x^2+y^2+7,
Esse “bowl” tem valor mínimo z(0,0)=7 e cresce radialmente até o contorno x^2+y^2=4, onde atinge
z = 4+7 = 11

Passo 3

Para ,x^2+y^2>4 e escolhendo k=15, a superfície externa é o plano horizontal
z = 15
No esboço, imagina-se um “bowl” até z=11 dentro do disco de raio 2 e, fora desse disco, uma tampa plana em z=15.

Passo 4

Observando o contorno x^2+y^2=4, ao aproximar-se pelo interior temos zto11, enquanto pelo exterior z=15. Logo, em k=15 há salto de 11 para 15, ou seja, descontinuidade ao longo do círculo de raio 2.

Passo 5

Para garantir continuidade em todo o plano, o valor externo k deve coincidir com o limite interno no contorno. Como esse limite é
limx^2+y^2to4^-(x^2+y^2+7)=4+7=11,
devemos ter k=11.

Resposta

(a) Dentro do disco x^2+y^2<=2^2 a superfície é o “bowl” z=x^2+y^2+7 subindo de 7 em (0,0) até 11 na fronteira, e fora desse disco é o plano z=15, com salto de 11 para 15 na borda.
(b) Para continuidade em todo o plano, k=11.

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