Seja
a) Esboce o gráfico de
para
b) Determine k de modo que
seja contínua em todo plano
a) Esboce o gráfico de
b) Determine k de modo que
Passo 1
O enunciado nos dá a função por partes
e pede em (a) um esboço de
quando
e em (b) o valor de
que torne
contínua em todo o plano. O conteúdo é análise de superfícies em
e continuidade em contornos.
Passo 2
Para
temos uma porção de paraboloide circular descrita por
Esse “bowl” tem valor mínimo
e cresce radialmente até o contorno
, onde atinge
Passo 3
Para
e escolhendo
, a superfície externa é o plano horizontal
No esboço, imagina-se um “bowl” até
dentro do disco de raio 2 e, fora desse disco, uma tampa plana em
.
Passo 4
Observando o contorno
, ao aproximar-se pelo interior temos
, enquanto pelo exterior
. Logo, em
há salto de
para
, ou seja, descontinuidade ao longo do círculo de raio 2.
Passo 5
Para garantir continuidade em todo o plano, o valor externo
deve coincidir com o limite interno no contorno. Como esse limite é
devemos ter
.
Resposta
(a) Dentro do disco
a superfície é o “bowl”
subindo de
em
até
na fronteira, e fora desse disco é o plano
, com salto de
para
na borda.
(b) Para continuidade em todo o plano,
.