Analise duas funções adequadas para mostrar que
para todo
.
Passo 1
Temos que provar que para todo
vale
. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de funções via derivadas, e vamos definir duas funções cuja sinalização nos dá cada parte da desigualdade.
Passo 2
Para mostrar
, definimos
Note que
. Calculando a derivada, temos
Como
para
e
para
, deduzimos que
em todo
. Logo
, ou seja,
.
Passo 3
Para mostrar
, definimos
Novamente
. A derivada é
Vemos que
em
e
em
. Assim
para todo
. Logo
, ou seja,
.
Passo 4
Juntando as duas desigualdades obtidas, concluímos que para todo
vale