Analise duas funções adequadas para mostrar que 1-1x <= ln x <= x-1 para todo x>0.

Passo 1

Temos que provar que para todo x>0 vale 1-tfrac1x<=ln x<= x-1. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade de funções via derivadas, e vamos definir duas funções cuja sinalização nos dá cada parte da desigualdade.

Passo 2

Para mostrar ln x<= x-1, definimos f(x)= (x-1)-ln x Note que f(1)=0. Calculando a derivada, temos f'(x)=1-1x=x-1x Como f'(x)>=0 para x>=1 e f'(x)<=0 para 0, deduzimos que f(x)>= f(1)=0 em todo x>0. Logo x-1-ln x>=0, ou seja, ln x<= x-1.

Passo 3

Para mostrar ln x>=1-tfrac1x, definimos g(x)=ln x+1x-1 Novamente g(1)=0. A derivada é g'(x)=1x-1x^2=x-1x^2 Vemos que g'(x)<=0 em 0 e g'(x)>=0 em x>=1. Assim g(x)>= g(1)=0 para todo x>0. Logo ln x+tfrac1x-1>=0, ou seja, ln x>=1-tfrac1x.

Passo 4

Juntando as duas desigualdades obtidas, concluímos que para todo x>0 vale 1-1x;<=;ln x;<=;x-1

Resposta

1-1x<=ln x<= x-1 para todo x>0.

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