Estude o crescimento da função
dada por
. Conclua que
para todos
.
Passo 1
Nesse exercício vamos analisar o crescimento da função
definida por
. O conteúdo é cálculo diferencial: derivada, monotonia e extremos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Usando quociente, temos
Passo 3
Analisando o sinal de
: o fator
é sempre positivo. Logo o sinal de
vem de
. Concluímos que
- para
, , ou seja, é decrescente; - para
, , ou seja, é crescente.
Portanto,é ponto de mínimo.
Passo 4
Em
a função vale
. Como era ponto de mínimo, temos
para todo
.
Passo 5
Para quaisquer
, definimos
e
. Então
Como
e
, multiplicando as duas desigualdades obtemos