Estude o crescimento da função f:] 0,+infty[ R dada por f(x)=e^xx. Conclua que e^a+ba b >= e^2 para todos a, b>0.

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar o crescimento da função f:(0,+infty)toR definida por f(x)=e^xx. O conteúdo é cálculo diferencial: derivada, monotonia e extremos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Usando quociente, temos
f'(x)=(e^x)cdot x - e^xcdot1x^2=e^x(x-1)x^2

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x): o fator e^x é sempre positivo. Logo o sinal de f'(x) vem de x-1. Concluímos que
  • para 0, f'(x)<0, ou seja, f é decrescente;
  • para x>1, f'(x)>0, ou seja, f é crescente.
    Portanto, x=1 é ponto de mínimo.

Passo 4

Em x=1 a função vale f(1)=tfrace^11=e. Como era ponto de mínimo, temos f(x)>= e para todo x>0.

Passo 5

Para quaisquer a,b>0, definimos f(a)=e^a/a e f(b)=e^b/b. Então
f(a),f(b)=e^aacdote^bb=e^a+bab
Como f(a)>= e e f(b)>= e, multiplicando as duas desigualdades obtemos
e^a+bab>= e^2

Resposta

e^a+bab>= e^2 para todos a,b>0.

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