Verifique que
e
são soluções para a equação diferencial não-linear
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as funções $ y_{1} = 1 $ e $ y_{2} = \ln(x) $ são soluções da equação diferencial não-linear $ y’’ + \left(y’\right)^2 = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $. Para fazer isso, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com $ y_{1} = 1 $.
-
Calcular a primeira derivada $ y’ $:
Como $ y_{1} = 1 $ é uma constante, sua derivada em relação a $ x $ é zero. -
Calcular a segunda derivada $ y’’ $:
A derivada de zero é novamente zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
Como a equação resulta em zero, $ y_{1} = 1 $ é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos verificar para $ y_{2} = \ln(x) $.
-
Calcular a primeira derivada $ y’ $:
A derivada de $ \ln(x) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $. -
Calcular a segunda derivada $ y’’ $:
A derivada de $ \frac{1}{x} $ é $ -\frac{1}{x^2} $.
Passo 5
Vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
A equação também resulta em zero, então $ y_{2} = \ln(x) $ é uma solução válida da equação diferencial.
Resposta
As funções $ y_{1} = 1 $ e $ y_{2} = \ln(x) $ satisfazem a equação diferencial $ y’’ + \left(y’\right)^2 = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $, ou seja, são soluções da equação.