Verifique que y1=1 e y2=ln (x) são soluções para a equação diferencial não-linear y^prime prime+(y^prime)^2=0 no intervalo (0, infty).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as funções $ y_{1} = 1 $ e $ y_{2} = \ln(x) $ são soluções da equação diferencial não-linear $ y’’ + \left(y’\right)^2 = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $. Para fazer isso, vamos calcular as primeiras e segundas derivadas de cada função e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com $ y_{1} = 1 $.
  • Calcular a primeira derivada $ y’ $:
    Como $ y_{1} = 1 $ é uma constante, sua derivada em relação a $ x $ é zero.
    y1 = 1
  • Calcular a segunda derivada $ y’’ $:
    A derivada de zero é novamente zero.
    y'

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
y'
Como a equação resulta em zero, $ y_{1} = 1 $ é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos verificar para $ y_{2} = \ln(x) $.
  • Calcular a primeira derivada $ y’ $:
    A derivada de $ \ln(x) $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{x} $.
    y2 = ln(x)
  • Calcular a segunda derivada $ y’’ $:
    A derivada de $ \frac{1}{x} $ é $ -\frac{1}{x^2} $.
    y'

Passo 5

Vamos substituir $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial:
y'
A equação também resulta em zero, então $ y_{2} = \ln(x) $ é uma solução válida da equação diferencial.

Resposta

As funções $ y_{1} = 1 $ e $ y_{2} = \ln(x) $ satisfazem a equação diferencial $ y’’ + \left(y’\right)^2 = 0 $ no intervalo $ (0, \infty) $, ou seja, são soluções da equação.

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