Analise as duas situações a seguir e responda.
Para o mesmo tubo capilar com diâmetro de 0,05 \mathrm{~mm}, qual seria a altura atingida no tubo se o líquido fosse mercúrio? Considerar tensão superficial =0,5 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, massa específica = 13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e ângulo =140^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado) e pede uma coisa clara:
  • Diâmetro do tubo: d=0,05\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão superficial: \gamma=0,5\\ \mathrm{N/m}.
  • Massa específica (densidade): \rho=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Ângulo de contato: \theta=140^\circ.
    O que se pede: calcular a altura atingida pelo mercúrio no tubo capilar (ou seja, o deslocamento do nível do líquido em relação ao nível livre externo).

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica (explicação passo a passo).
Quando um líquido entra num tubo fino, a superfície curva e a tensão superficial puxa o líquido para cima ou para baixo. A altura h do líquido se obtém equilibrando a força capilar com o peso da coluna de líquido. A força capilar resultante na circunferência do tubo é dada por
F_{\text{cap}}=2\pi r\,\gamma\cos\theta,
onde:
  • r é o raio interno do tubo (em metros);
  • \gamma é a tensão superficial (em \mathrm{N/m});
  • \theta é o ângulo de contato entre líquido e parede (em graus; \cos\theta pode ser negativo).
    A massa da coluna de líquido de altura h é \rho\pi r^{2}h, logo o peso é \rho\pi r^{2}h\,g, onde g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}).
    Equilibrando forças (capilar para cima quando \cos\theta>0, para baixo quando \cos\theta<0):
2\pi r\,\gamma\cos\theta=\rho\pi r^{2}h\,g.
Cancelando \pi r e isolando h obtemos a fórmula prática:
h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}.
Como muitas vezes é dado o diâmetro d=2r, é útil a forma equivalente:
\boxed{\,h=\frac{4\gamma\cos\theta}{\rho g d}\,}
Aqui cada símbolo significa:
  • \gamma: tensão superficial ( \mathrm{N/m});
  • \theta: ângulo de contato (graus);
  • \rho: densidade ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}), usualmente g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}};
  • d: diâmetro do tubo (m);
  • h: altura medida positivamente para subida acima do nível externo; h<0 indica depressão (nível abaixo do externo).

Passo 3

Interpretação do sinal de \cos\theta.
  • Se 0^\circ\le\theta<90^\circ, então \cos\theta>0 e o líquido sobe ( h>0).
  • Se \theta=90^\circ, \cos\theta=0 e não há subida nem depressão ( h=0).
  • Se 90^\circ<\theta\le180^\circ, \cos\theta<0 e o líquido é deprimido ( h<0).
    No problema \theta=140^\circ>90^\circ, portanto esperamos depressão do mercúrio (nível abaixo do externo).

Passo 4

Converter unidades fornecidas para o SI e fixar g.
  • d=0,05\\ \mathrm{mm}=0,05\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Usarei g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
    Confirmando os outros dados já estão no SI: \gamma=0,5\\ \mathrm{N/m}, \rho=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}, \theta=140^\circ.

Passo 5

Calcular \cos\theta.
\cos 140^\circ=\cos(180^\circ-40^\circ)=-\cos 40^\circ\approx -0,76604.
Portanto \cos 140^\circ\approx -0,76604.

Passo 6

Substituir na fórmula \displaystyle h=\frac{4\gamma\cos\theta}{\rho g d} e calcular passo a passo.
Primeiro o numerador:
4\gamma\cos\theta = 4\cdot 0,5\cdot(-0,76604)=2\cdot(-0,76604)=-1,53208\\ \mathrm{N/m}.
Agora o denominador:
\rho g d = 13600\cdot 9,81\cdot 5\times10^{-5}.
Calcular em partes:
13600\cdot 9,81 = 133416,
133416\cdot 5\times10^{-5}=133416\cdot 0,00005=6,6708.
Logo o denominador é 6,6708 (unidade \mathrm{N/m^{2}} multiplicada por m dá \mathrm{N/m}, coerente para h em metros).
Agora a razão:
h=\frac{-1,53208}{6,6708}\approx -0,2297\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretar o resultado e arredondar de forma prática.
O valor negativo indica depressão (o mercúrio fica abaixo do nível livre externo). Em unidades mais fáceis:
h\approx -0,230\\ \mathrm{m} = -23,0\\ \mathrm{cm}.
Ou seja: o mercúrio será deprimido por aproximadamente 23,0\\ \mathrm{cm} no tubo de diâmetro 0,05\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comentário rápido de revisão e incentivo (curtinho).
Resumo: usando o equilíbrio entre tensão superficial e peso da coluna obtivemos a fórmula e aplicamos direto; o sinal negativo era esperado porque \theta=140^\circ (mercúrio não molha o vidro). Você já consegue aplicar isso para qualquer outro líquido: só troque \gamma, \rho e \theta. Vai dar certo — estamos quase lá!

Resposta

-0,230\\ \mathrm{m} (depressão de 23,0\\ \mathrm{cm}).

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