Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem a sequência:
O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se existe um valor para o qual
se aproxima conforme
aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e comportamento de funções racionais quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão que temos. Temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais de
. O numerador é
e o denominador é
.
Para simplificar e encontrar o limite, vamos multiplicar o numerador:
Então, agora nossa sequência fica:
Passo 3
Agora, para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador, é
.
Quando
cresce muito, os termos de menor grau (como
,
e
) tornam-se menos significativos em comparação com
. Já no denominador, além de
, temos apenas
, que também se torna insignificante quando
é muito grande.
Passo 4
Então, podemos simplificar nossa análise focando apenas nos termos de maior grau:
Isso significa que, conforme
cresce, a sequência
se aproxima cada vez mais de
.
Resposta
A sequência
converge para
conforme
tende ao infinito.