Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
an=(2 n-1)(3 n^2+5)n^3+1

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem a sequência:
an = (2n - 1)(3n^2 + 5)n^3 + 1
O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se existe um valor para o qual an se aproxima conforme n aumenta) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre limites e comportamento de funções racionais quando n cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão que temos. Temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções polinomiais de n. O numerador é (2n - 1)(3n^2 + 5) e o denominador é n^3 + 1.
Para simplificar e encontrar o limite, vamos multiplicar o numerador:
(2n - 1)(3n^2 + 5) = 2n cdot 3n^2 + 2n cdot 5 - 1 cdot 3n^2 - 1 cdot 5 = 6n^3 + 10n - 3n^2 - 5
Então, agora nossa sequência fica:
an = 6n^3 + 10n - 3n^2 - 5n^3 + 1

Passo 3

Agora, para encontrar o limite dessa sequência quando n tende ao infinito, vamos observar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 6n^3, e no denominador, é n^3.
Quando n cresce muito, os termos de menor grau (como 10n, -3n^2 e -5) tornam-se menos significativos em comparação com 6n^3. Já no denominador, além de n^3, temos apenas +1, que também se torna insignificante quando n é muito grande.

Passo 4

Então, podemos simplificar nossa análise focando apenas nos termos de maior grau:
an approx 6n^3n^3 = 6
Isso significa que, conforme n cresce, a sequência an se aproxima cada vez mais de 6.

Resposta

A sequência an converge para 6 conforme n tende ao infinito.
limn to infty an = 6

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