Para cada função dada a seguir, escreva a(s) equação(ões) de quaisquer assíntotas horizontais:
f(x)=raiz7+9 x^21-2 x

Passo 1

A função dada é f(x)=raiz7+9x^21-2x. O conteúdo principal aqui é assíntotas horizontais, que a gente encontra calculando os limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty.

Passo 2

Para achar assíntotas horizontais, lembramos que se limxto af(x)=L com a=+infty ou -infty, então y=L é uma assíntota horizontal naquele lado. Vamos aplicar isso em cada caso.

Passo 3

Cálculo de limxto+inftyf(x):
Primeiro fatoramos x^2 dentro da raiz:
raiz7+9x^2=xraiz9+7x^2(x>0)
Então
f(x)=xraiz9+7x^21-2x
Dividindo numerador e denominador por x:
f(x)=raiz9+7x^21x-2
Quando xto+infty, temos raiz9+7/x^2to3 e 1/xto0. Logo,
limxto+inftyf(x)=3-2=-32

Passo 4

Cálculo de limxto-inftyf(x):
Para x<0, raiz7+9x^2=|x|raiz9+7/x^2=-xraiz9+7x^2 Assim,
f(x)=-xraiz9+7x^21-2x
Novamente divido numerador e denominador por x:
f(x)=-raiz9+7x^21x-2
Quando xto-infty, temos raiz9+7/x^2to3 e 1/xto0, resultando em
limxto-inftyf(x)=-3-2=32

Resposta

As assíntotas horizontais são
y= -\tfrac{3}{2} (para xto+infty) e y= \tfrac{3}{2} (para xto-infty).

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