Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
an=(-1)^n+1 3 nn^2+4 n+5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar se a sequência $ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{3n}{n^{2} + 4n + 5} $ converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é o valor para onde ela se aproxima. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender melhor o que acontece quando $ n $ fica muito grande. Olha só:
n
Quando $ n $ cresce, o termo $ n^{2} $ no denominador vai dominar os demais termos. Então, podemos aproximar a expressão para valores grandes de $ n $:
an = (-1)^n+1 3nn^2 + 4n + 5

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo $ \frac{3}{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que:
3n
Isso significa que a amplitude da sequência está diminuindo para zero conforme $ n $ aumenta.

Passo 4

Mas temos também o fator $ (-1)^{n+1} $, que faz com que os termos da sequência alternem sinais: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Então, a sequência oscila em torno de zero, mas com amplitude decrescente.

Passo 5

Como a amplitude está indo para zero e os termos estão oscilando, podemos concluir que a sequência converge para zero. Isso porque, embora os sinais alternem, a distância de cada termo em relação a zero fica cada vez menor, chegando a se fixar em zero.

Resposta

A sequência $ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{3n}{n^{2} + 4n + 5} $ converge e o seu limite é:
an = (-1)^n+1 3nn^2 + 4n + 5

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