Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa analisar se a sequência $ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{3n}{n^{2} + 4n + 5} $ converge ou diverge. Se ela convergir, vamos descobrir qual é o valor para onde ela se aproxima. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender melhor o que acontece quando $ n $ fica muito grande. Olha só:
Quando $ n $ cresce, o termo $ n^{2} $ no denominador vai dominar os demais termos. Então, podemos aproximar a expressão para valores grandes de $ n $:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo $ \frac{3}{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que:
Isso significa que a amplitude da sequência está diminuindo para zero conforme $ n $ aumenta.
Passo 4
Mas temos também o fator $ (-1)^{n+1} $, que faz com que os termos da sequência alternem sinais: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Então, a sequência oscila em torno de zero, mas com amplitude decrescente.
Passo 5
Como a amplitude está indo para zero e os termos estão oscilando, podemos concluir que a sequência converge para zero. Isso porque, embora os sinais alternem, a distância de cada termo em relação a zero fica cada vez menor, chegando a se fixar em zero.
Resposta
A sequência $ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{3n}{n^{2} + 4n + 5} $ converge e o seu limite é: