Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Vamos analisar se a sequência $ a_{n} = \frac{n+1}{\sqrt{n+9}} $ converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificar a expressão para entender o comportamento dela conforme $ n $ cresce.
Passo 2
Primeiro, observamos os termos do numerador e do denominador quando $ n $ fica muito grande. O numerador é $ n + 1 $, que cresce de forma linear com $ n $. O denominador é $ \sqrt{n + 9} $, que cresce mais devagar, já que a raiz quadrada de $ n $ aumenta mais lentamente que $ n $ sozinho.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ n $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão, temos:
Passo 5
Sabemos que $ \sqrt{n} $ cresce sem limites conforme $ n $ aumenta, ou seja, tende ao infinito. Portanto:
Isso significa que a sequência não se aproxima de nenhum valor finito.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{n+1}{\sqrt{n+9}} $ diverge.