Em uma análise espectral de um talhão agrícola, a reflectância no infravermelho próximo (NIR), representada por R, segue a seguinte distribuição:
Phi(r)=4 r^3, para r in[0 ; 1]
Calcule o momento centrado de ordem 2 da variável R, interpretando o que essa medida representa sobre a variabilidade da reflectância observada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre análise espectral em um talhão agrícola. A reflectância no infravermelho próximo (NIR), representada por $ R $, segue a distribuição $ \Phi® = 4r^3 $ para $ r $ entre 0 e 1. Nosso objetivo é calcular o momento centrado de ordem 2 dessa variável, que na prática representa a variabilidade da reflectância observada. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos estatísticos, especificamente o momento centrado de segunda ordem, que é a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento centrado de ordem 2. É basicamente a variância, que mede o quanto os valores da variável $ R $ estão espalhados em relação à média. Para calcular a variância, usamos a fórmula:
R
Onde $ E[R] $ é a média de $ R $ e $ E[R^2] $ é a média do quadrado de $ R $.

Passo 3

Vamos calcular a média $ E[R] $. A média de uma variável contínua é dada por:
E[R]
Substituindo $ \Phi® = 4r^3 $:
E[R] = integral0^1 r cdot Phi(r) , dr
Integrando:
Phi(r) = 4r^3

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[R^2] $:
E[R^2]
Substituindo $ \Phi® = 4r^3 $:
E[R^2] = integral0^1 r^2 cdot Phi(r) , dr
Integrando:
Phi(r) = 4r^3

Passo 5

Agora que temos $ E[R] = 0,8 $ e $ E[R^2] \approx 0,6667 $, podemos calcular a variância:
E[R] = 0,8

Resposta

O momento centrado de ordem 2 da variável $ R $ é aproximadamente $ 0,0267 $. Isso indica que a variabilidade da reflectância observada no infravermelho próximo é baixa, ou seja, os valores de $ R $ estão bem concentrados em torno da média de $ 0,8 $.

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