Durante uma campanha topográfica, os erros de medição da altura de pontos topográficos, em metros, são modelados por uma variável aleatória
, com densidade de probabilidade:
Calcule o momento centrado de ordem
da variável
, que representa a variância dos erros de medição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de densidade de probabilidade para os erros de medição das alturas de pontos topográficos, representada por $ X $. A função é:
O que precisamos encontrar é o momento centrado de ordem 2 dessa variável $ X $, que na prática é a variância dos erros de medição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos, expectativa e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a expectativa (ou valor esperado) de uma variável aleatória $ X $ é uma medida do valor médio que $ X $ assume. Matematicamente, é calculada assim:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, então vamos calcular $ E(X) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ E(X) $:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada integral separadamente:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão para $ E(X) $:
Então, $ E(X) = \frac{1}{2} $.
Passo 7
Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é a expectativa de $ X $ ao quadrado:
Vamos resolver essa integral da mesma forma que fizemos para $ E(X) $.
Passo 8
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos calcular cada integral separadamente:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para $ E(X^2) $:
Então, $ E(X^2) = \frac{3}{10} $.
Passo 11
Agora que temos $ E(X) $ e $ E(X^2) $, podemos calcular a variância $ Var(X) $, que é o momento centrado de ordem 2. A fórmula para a variância é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A variância dos erros de medição é $ \frac{1}{20} $ metros ao quadrado.