Durante uma campanha topográfica, os erros de medição da altura de pontos topográficos, em metros, são modelados por uma variável aleatória X, com densidade de probabilidade:
Phi(x)=6 x(1-x), para x in[0 ; 1]
Calcule o momento centrado de ordem 2 da variável X, que representa a variância dos erros de medição

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma função de densidade de probabilidade para os erros de medição das alturas de pontos topográficos, representada por $ X $. A função é:
X
O que precisamos encontrar é o momento centrado de ordem 2 dessa variável $ X $, que na prática é a variância dos erros de medição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre momentos, expectativa e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expectativa (ou valor esperado) de uma variável aleatória $ X $ é uma medida do valor médio que $ X $ assume. Matematicamente, é calculada assim:
X
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, então vamos calcular $ E(X) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ E(X) $:
E(X)
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos expandir a expressão dentro da integral:
6x^2(1 - x) = 6x^2 - 6x^3
Então, a integral fica:
E(X) = integral0^1 (6x^2 - 6x^3) , dx = 6 integral0^1 x^2 , dx - 6 integral0^1 x^3 , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular cada integral separadamente:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 6

Substituindo de volta na expressão para $ E(X) $:
E(X)
Então, $ E(X) = \frac{1}{2} $.

Passo 7

Agora, vamos calcular $ E(X^2) $, que é a expectativa de $ X $ ao quadrado:
E(X^2)
Vamos resolver essa integral da mesma forma que fizemos para $ E(X) $.

Passo 8

Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
6x^3(1 - x) = 6x^3 - 6x^4
Então, a integral fica:
E(X^2) = integral0^1 (6x^3 - 6x^4) , dx = 6 integral0^1 x^3 , dx - 6 integral0^1 x^4 , dx

Passo 9

Vamos calcular cada integral separadamente:
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
integral0^1 x^4 , dx = [ x^55 ]0^1 = 15 - 0 = 15

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para $ E(X^2) $:
E(X^2)
Então, $ E(X^2) = \frac{3}{10} $.

Passo 11

Agora que temos $ E(X) $ e $ E(X^2) $, podemos calcular a variância $ Var(X) $, que é o momento centrado de ordem 2. A fórmula para a variância é:
E(X)
Substituindo os valores que encontramos:
E(X^2)

Resposta

A variância dos erros de medição é $ \frac{1}{20} $ metros ao quadrado.

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