Analise a estabilidade de sistemas de controle discreto em malha fechada cujos polinômios característicos estão listados abaixo:
(a) P(z)=z^3-1,3 z^2-0,08 z+0,24

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede pra gente analisar a estabilidade de um sistema de controle discreto em malha fechada. Pra isso, a gente tem um polinômio característico dado por:
P(z) = z^3 - 1.3 z^2 - 0.08 z + 0.24
Para saber se o sistema é estável, precisamos verificar se todas as raízes desse polinômio (chamadas de pólos) estão dentro do círculo unitário no plano . Ou seja, cada pólo deve ter módulo menor que 1. Vamos usar o Teste de Jury pra fazer essa verificação de forma organizada.

Passo 2

Primeiro passo do Teste de Jury é verificar se o módulo de P(1) = 1^3 - 1.3 times 1^2 - 0.08 times 1 + 0.24 = 1 - 1.3 - 0.08 + 0.24 = -0.14 é menor que 2. Calculando:
O módulo de é , que é menor que 2. Isso já passa na primeira condição do teste!

Passo 3

Agora, vamos calcular P(-1) = (-1)^3 - 1.3 times (-1)^2 - 0.08 times (-1) + 0.24 = -1 - 1.3 + 0.08 + 0.24 = -2.0 e ver o módulo também:
O módulo de é . Aqui, a gente vê que é igual a 2, o que está no limite. Precisamos continuar o teste para ter certeza.

Passo 4

O próximo passo é verificar se todos os coeficientes do polinômio têm o mesmo sinal depois de organizar o polinômio de forma padrão. Nosso polinômio é:
P(z) = z^3 - 1.3 z^2 - 0.08 z + 0.24
Os coeficientes são: , , ,
Como não estão todos com o mesmo sinal, precisamos continuar com o Teste de Jury utilizando a tabela para polinômios de ordem 3.

Passo 5

Vamos montar a tabela do Teste de Jury para o polinômio:
  1. Linha 1: Coeficientes originais:
    1 -1.3 -0.08 0.24
  2. Linha 2: Coeficientes em ordem reversa:
    0.24 -0.08 -1.3 1
  3. Linha 3: Calculamos usando a fórmula do Teste de Jury. Primeiro, calculamos a razão entre os elementos correspondentes das duas primeiras linhas e subtraímos:
    a = (1)(0.24) - (-1.3)(1)0.24 = 0.24 + 1.30.24 = 1.540.24 approx 6.4167
    b = (-1.3)(0.24) - (-0.08)(1)0.24 = -0.312 + 0.080.24 = -0.2320.24 approx -0.9667
    Então, a Linha 3 fica:
    6.4167 -0.9667
  4. Linha 4: Repetimos o processo com a nova linha:
    a = (6.4167)(0.24) - (-0.9667)(1)6.4167 = 1.54 + 0.96676.4167 approx 2.50676.4167 approx 0.39
    b = (-0.9667)(0.24) - 0.24(1)6.4167 = -0.232 - 0.246.4167 approx -0.4726.4167 approx -0.0735
    A Linha 4 fica:
    0.39 -0.0735

Passo 6

Agora, analisamos os valores obtidos nas linhas adicionais. Para o sistema ser estável, todos os elementos da tabela devem ser positivos e menores que 1. Observando a Linha 4:
  • é positivo e menor que 1.
  • é negativo, o que viola as condições de estabilidade.

Resposta

Com base no Teste de Jury, como um dos elementos da tabela ficou negativo, o sistema não é estável.

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