Analise a estabilidade de sistemas de controle discreto em malha fechada cujos polinômios característicos estão listados abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede pra gente analisar a estabilidade de um sistema de controle discreto em malha fechada. Pra isso, a gente tem um polinômio característico dado por:
Para saber se o sistema é estável, precisamos verificar se todas as raízes desse polinômio (chamadas de pólos) estão dentro do círculo unitário no plano
. Ou seja, cada pólo deve ter módulo menor que 1. Vamos usar o Teste de Jury pra fazer essa verificação de forma organizada.
Passo 2
Primeiro passo do Teste de Jury é verificar se o módulo de
é menor que 2. Calculando:
O módulo de
é
, que é menor que 2. Isso já passa na primeira condição do teste!
Passo 3
Agora, vamos calcular
e ver o módulo também:
O módulo de
é
. Aqui, a gente vê que é igual a 2, o que está no limite. Precisamos continuar o teste para ter certeza.
Passo 4
O próximo passo é verificar se todos os coeficientes do polinômio têm o mesmo sinal depois de organizar o polinômio de forma padrão. Nosso polinômio é:
Os coeficientes são:
,
,
,
Como não estão todos com o mesmo sinal, precisamos continuar com o Teste de Jury utilizando a tabela para polinômios de ordem 3.
Passo 5
Vamos montar a tabela do Teste de Jury para o polinômio:
-
Linha 1: Coeficientes originais:
-
Linha 2: Coeficientes em ordem reversa:
-
Linha 3: Calculamos usando a fórmula do Teste de Jury. Primeiro, calculamos a razão entre os elementos correspondentes das duas primeiras linhas e subtraímos:Então, a Linha 3 fica:
-
Linha 4: Repetimos o processo com a nova linha:A Linha 4 fica:
Passo 6
Agora, analisamos os valores obtidos nas linhas adicionais. Para o sistema ser estável, todos os elementos da tabela devem ser positivos e menores que 1. Observando a Linha 4:
-
é positivo e menor que 1. -
é negativo, o que viola as condições de estabilidade.
Resposta
Com base no Teste de Jury, como um dos elementos da tabela ficou negativo, o sistema não é estável.