A carga por unidade de comprimento em um longo fio retilíneo é 90,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Encontre o campo elétrico a
10,0 \mathrm{~cm} do fio, onde as distâncias são medidas perpendicularmente ao comprimento do fio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
  • Dados fornecidos:
    \lambda = 90,0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} (carga por unidade de comprimento do fio).
    \;r = 10,0\\ \mathrm{cm} (distância perpendicular ao fio onde queremos o campo).
  • O que é pedido:
    • Encontrar o campo elétrico no ponto a r do fio (módulo e direção).

Passo 2

Por que podemos resolver isso de forma simples: o fio é “longo” e as distâncias são medidas perpendicularmente ao fio — isso cria simetria cilíndrica. Em palavras: o campo elétrico só depende da distância radial r e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva). Essa simetria nos permite usar uma ferramenta muito prática: a Lei de Gauss. A seguir eu explico a Lei de Gauss e como ela se aplica aqui.

Passo 3

A Lei de Gauss (explicação curta e didática):
  • A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total contida nessa superfície dividida por \epsilon_0 (a permissividade do vácuo).
  • Fluxo elétrico é, informalmente, quanto “campo atravessa” uma superfície. Para um campo uniforme E perpendicular à superfície de área A, o fluxo é E\cdot A.
  • Para um fio longo com simetria cilíndrica escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial com o fio, de raio r e comprimento L. O campo é perpendicular à superfície lateral e constante em módulo nessa superfície; nas tampas do cilindro o campo é praticamente paralelo e o fluxo por elas é zero (pela simetria). Assim só a superfície lateral contribui para o fluxo.
Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro:
  • Carga total dentro do cilindro: Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • Fluxo pela superfície lateral: \Phi = E \cdot (2\pi r L) porque a área lateral do cilindro é 2\pi r L e o campo é E e perpendicular a essa área.
  • A Lei de Gauss diz \Phi = Q_{\text{enc}}/\epsilon_0. Portanto:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L e isolando E obtemos a fórmula chave:
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}.
Aqui: \lambda é a densidade linear de carga (C/m), \epsilon_0 é a permissividade do vácuo (F/m), r é a distância radial (m), e E é o módulo do campo elétrico (N/C).

Passo 4

Vamos substituir os valores numéricos. Primeiro convertendo unidades para o SI:
  • \lambda = 90,0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m} = 90,0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m} = 9,00\times 10^{-5}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}.
  • r = 10,0\\ \mathrm{cm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
  • \epsilon_0 = 8,854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} (vou usar este valor para precisão).
A fórmula é
E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}.

Passo 5

Agora o cálculo numérico passo a passo:
Substituindo:
E=\frac{9{,}00\times 10^{-5}}{2\pi\cdot (8{,}854187817\times 10^{-12})\cdot 0{,}100}.
Calcule o denominador em partes:
2\pi\cdot \epsilon_0 \cdot r = 2\pi \times 8{,}854187817\times 10^{-12}\times 0{,}100
= 6{,}283185307\;\times 8{,}854187817\times 10^{-13}
\approx 5{,}564354\times 10^{-12}.
Agora a divisão:
E \approx \frac{9{,}00\times 10^{-5}}{5{,}564354\times 10^{-12}} \approx 1{,}617797\times 10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando com base nos dados (dados com três algarismos significativos), o resultado fica
E \approx 1{,}62\times 10^{7}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 6

Direção do campo:
  • Como \lambda é positiva ( 90,0\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}), o campo aponta radialmente para fora do fio (afastando-se dele).
  • Resultado final com unidades e sentido: 1{,}62\times 10^{7}\\ \mathrm{N/C}, radialmente para fora do fio.
Força e incentivo rápido: mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa é a maneira que dá para decorar a ideia e aplicar rápido na prova. Lembre-se: identificar simetria e escolher a superfície gaussiana certa é a parte mais importante.

Resposta

1{,}62\times 10^{7}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora do fio)

Exercícios relacionados