A carga por unidade de comprimento em um longo fio retilíneo é
. Encontre o campo elétrico a
do fio, onde as distâncias são medidas perpendicularmente ao comprimento do fio.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem direta.
- Dados fornecidos:
(carga por unidade de comprimento do fio).
(distância perpendicular ao fio onde queremos o campo). - O que é pedido:
- Encontrar o campo elétrico no ponto a
do fio (módulo e direção).
- Encontrar o campo elétrico no ponto a
Passo 2
Por que podemos resolver isso de forma simples: o fio é “longo” e as distâncias são medidas perpendicularmente ao fio — isso cria simetria cilíndrica. Em palavras: o campo elétrico só depende da distância radial
e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva). Essa simetria nos permite usar uma ferramenta muito prática: a Lei de Gauss. A seguir eu explico a Lei de Gauss e como ela se aplica aqui.
Passo 3
A Lei de Gauss (explicação curta e didática):
- A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total contida nessa superfície dividida por
(a permissividade do vácuo). - Fluxo elétrico é, informalmente, quanto “campo atravessa” uma superfície. Para um campo uniforme
perpendicular à superfície de área , o fluxo é . - Para um fio longo com simetria cilíndrica escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial com o fio, de raio
e comprimento . O campo é perpendicular à superfície lateral e constante em módulo nessa superfície; nas tampas do cilindro o campo é praticamente paralelo e o fluxo por elas é zero (pela simetria). Assim só a superfície lateral contribui para o fluxo.
Aplicando a Lei de Gauss ao cilindro:
- Carga total dentro do cilindro:
. - Fluxo pela superfície lateral:
porque a área lateral do cilindro é e o campo é e perpendicular a essa área. - A Lei de Gauss diz
. Portanto:
- Cancelando
e isolando obtemos a fórmula chave:
Aqui:
é a densidade linear de carga (C/m),
é a permissividade do vácuo (F/m),
é a distância radial (m), e
é o módulo do campo elétrico (N/C).
Passo 4
Vamos substituir os valores numéricos. Primeiro convertendo unidades para o SI:
-
-
-
(vou usar este valor para precisão).
A fórmula é
Passo 5
Agora o cálculo numérico passo a passo:
Substituindo:
Calcule o denominador em partes:
Agora a divisão:
Arredondando com base nos dados (dados com três algarismos significativos), o resultado fica
Passo 6
Direção do campo:
- Como
é positiva ( ), o campo aponta radialmente para fora do fio (afastando-se dele). - Resultado final com unidades e sentido:
, radialmente para fora do fio.
Força e incentivo rápido: mandou bem pedindo a resolução passo a passo — essa é a maneira que dá para decorar a ideia e aplicar rápido na prova. Lembre-se: identificar simetria e escolher a superfície gaussiana certa é a parte mais importante.