A carga por unidade de comprimento em um longo fio retilíneo é
. Encontre o campo elétrico a
do fio, onde as distâncias são medidas perpendicularmente ao comprimento do fio.
Passo 1
O enunciado dá uma carga linear e pede o campo elétrico perpendicularmente ao fio em uma certa distância. Dados e pedido, explicitados:
- Carga por unidade de comprimento:
. - Distância ao fio (medida perpendicularmente):
. - Pergunta: encontrar o campo elétrico no ponto a essa distância (módulo e direção).
Observações de unidade (vou convertê-las antes de calcular): -
deve ficar em coulomb por metro: . -
deve ficar em metros.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicando como se fosse uma aulinha rápida):
- Lei de Gauss: ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dessa superfície. Escrita matemática:
Aqui:
-
é o fluxo elétrico total através da superfície fechada. -
é o campo elétrico. -
é o vetor área de cada pedaço da superfície (direção normal externa). -
é a carga total dentro da superfície. -
é a permissividade do vácuo, .
Motivação: para fios longos e retilíneos temos simetria cilíndrica — o campo elétrico em pontos a mesma distância radial do fio tem mesma intensidade e aponta radialmente. Isso permite escolher uma superfície gaussiana cilíndrica onde o campo é fácil de calcular.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria:
- Tomamos um cilindro de raio
(a mesma distância do ponto de interesse) e comprimento (arbitrário, mas grande o suficiente; o resultado não dependerá de ). - Pelo simetria cilíndrica:
- O campo
é radial e tem módulo constante em toda a superfície lateral do cilindro. - Nos dois discos das extremidades do cilindro o campo é (aproximadamente) paralelo aos discos (porque o campo é radial) — logo o fluxo por esses discos é zero.
- O campo
- Assim, o fluxo total atravessando a superfície fechada é apenas o fluxo através da superfície lateral.
Passo 4
Cálculo do fluxo e da carga interna:
- Área lateral do cilindro:
. - Como
é perpendicular à lateral e de módulo constante lá, o fluxo pela lateral é
- A carga total contida no cilindro (dentro da superfície) é a densidade linear vezes o comprimento:
- Aplicando a lei de Gauss:
Passo 5
Isolando
e apresentando a fórmula final:
- Cancelamos
dos dois lados (o resultado não depende de ):
- Portanto,
Explicação das variáveis na fórmula final:
-
é o módulo do campo elétrico a distância radial do fio. -
é a carga por unidade de comprimento (em ). -
é a permissividade do vácuo. -
é a distância perpendicular ao fio.
Passo 6
Substituição numérica (com cuidado nas unidades e contas, passo a passo):
- Converter
de para :
- Converter
de centímetros para metros:
- Usar
. - Agora calcular
Faço uma redução intercalar usando a constante de Coulomb
só para checar rapidamente:
. Assim
Mas vou continuar com a conta direta numérica:
- Primeiro o denominador:
. - Agora a divisão:
(Arredondei mantendo três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos.)
Passo 7
Direção do campo:
- A densidade linear
dada é positiva ( > 0). Para carga positiva o campo aponta radialmente para fora do fio. - Portanto o vetor campo em módulo é o valor calculado e a direção é radialmente para fora.
Passo 8
Checagem de unidades e plausibilidade:
- Unidade de
resultou em , que é a unidade correta para campo elétrico. - A ordem de grandeza (
) é alta, o que faz sentido para uma carga linear relativamente grande e uma distância pequena ( ).