A carga por unidade de comprimento em um longo fio retilíneo é 90,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Encontre o campo elétrico a
20,0 \mathrm{~cm} do fio, onde as distâncias são medidas perpendicularmente ao comprimento do fio.

Passo 1

O enunciado dá uma carga linear e pede o campo elétrico perpendicularmente ao fio em uma certa distância. Dados e pedido, explicitados:
  • Carga por unidade de comprimento: \lambda = 90{,}0\\ \mu\mathrm{C/m}.
  • Distância ao fio (medida perpendicularmente): r = 20{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Pergunta: encontrar o campo elétrico no ponto a essa distância (módulo e direção).
    Observações de unidade (vou convertê-las antes de calcular):
  • \lambda deve ficar em coulomb por metro: \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • r deve ficar em metros.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicando como se fosse uma aulinha rápida):
  • Lei de Gauss: ela relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica dentro dessa superfície. Escrita matemática:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo elétrico total através da superfície fechada.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico.
  • d\mathbf{A} é o vetor área de cada pedaço da superfície (direção normal externa).
  • Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície.
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \epsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
Motivação: para fios longos e retilíneos temos simetria cilíndrica — o campo elétrico em pontos a mesma distância radial do fio tem mesma intensidade e aponta radialmente. Isso permite escolher uma superfície gaussiana cilíndrica onde o campo é fácil de calcular.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana e uso da simetria:
  • Tomamos um cilindro de raio r (a mesma distância do ponto de interesse) e comprimento L (arbitrário, mas grande o suficiente; o resultado não dependerá de L).
  • Pelo simetria cilíndrica:
    • O campo \mathbf{E} é radial e tem módulo constante em toda a superfície lateral do cilindro.
    • Nos dois discos das extremidades do cilindro o campo é (aproximadamente) paralelo aos discos (porque o campo é radial) — logo o fluxo por esses discos é zero.
  • Assim, o fluxo total atravessando a superfície fechada é apenas o fluxo através da superfície lateral.

Passo 4

Cálculo do fluxo e da carga interna:
  • Área lateral do cilindro: A_{\text{lat}} = 2\pi r L.
  • Como \mathbf{E} é perpendicular à lateral e de módulo constante lá, o fluxo pela lateral é
\Phi = E \cdot A_{\text{lat}} = E\,(2\pi r L).
  • A carga total contida no cilindro (dentro da superfície) é a densidade linear vezes o comprimento:
Q_{\text{int}} = \lambda L.
  • Aplicando a lei de Gauss:
E\,(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_0}.

Passo 5

Isolando E e apresentando a fórmula final:
  • Cancelamos L dos dois lados (o resultado não depende de L):
E\,(2\pi r) = \frac{\lambda}{\epsilon_0}.
  • Portanto,
E = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 r}.
Explicação das variáveis na fórmula final:
  • E é o módulo do campo elétrico a distância radial r do fio.
  • \lambda é a carga por unidade de comprimento (em \mathrm{C/m}).
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • r é a distância perpendicular ao fio.

Passo 6

Substituição numérica (com cuidado nas unidades e contas, passo a passo):
  • Converter \lambda de \mu\mathrm{C/m} para \mathrm{C/m}:
\lambda = 90{,}0\\ \mu\mathrm{C/m} = 90{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m} = 9{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m}.
  • Converter r de centímetros para metros:
r = 20{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Usar \epsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.
  • Agora calcular
E = \frac{9{,}0\times10^{-5}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(0{,}20)}.
Faço uma redução intercalar usando a constante de Coulomb k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2} só para checar rapidamente: \dfrac{1}{2\pi\epsilon_0}=2k. Assim
E = 2k\frac{\lambda}{r}.
Mas vou continuar com a conta direta numérica:
  • Primeiro o denominador: 2\pi\epsilon_0 r \approx 2\pi\times 8{,}85\times10^{-12}\times 0{,}20 \approx 1{,}11265\times10^{-11}.
  • Agora a divisão:
E \approx \frac{9{,}0\times10^{-5}}{1{,}11265\times10^{-11}} \approx 8{,}09\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei mantendo três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos.)

Passo 7

Direção do campo:
  • A densidade linear \lambda dada é positiva ( 90{,}0\\ \mu\mathrm{C/m} > 0). Para carga positiva o campo aponta radialmente para fora do fio.
  • Portanto o vetor campo em módulo é o valor calculado e a direção é radialmente para fora.

Passo 8

Checagem de unidades e plausibilidade:
  • Unidade de E resultou em \mathrm{N/C}, que é a unidade correta para campo elétrico.
  • A ordem de grandeza ( 10^{6}\\ \mathrm{N/C}) é alta, o que faz sentido para uma carga linear relativamente grande e uma distância pequena ( 0{,}2\\ \mathrm{m}).

Resposta

E \approx 8{,}09\times10^{6}\\ \mathrm{N/C} (radialmente para fora do fio)

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