1. (Análise Estrutural) Sistemas lineares modelam forças em pontes. Uma engenheira civil está projetando uma pequena ponte suspensa com 3 cabos principais conectados a dois suportes. As forças F1, F2, e F3 atuam sobre os cabos de maneira equilibrada, e o sistema de forças no suporte é descrito pelo sistema de equações:
F1+F2+F3 & =0 2 F1+F2-F3 & =100 kN F1-F2+3 F3 & =150 kN
Determine F1, F2, F3 de modo que o sistema esteja em equilíbrio. Explique como essas forças afetam a estabilidade da ponte e a importância de resolver esses sistemas para garantir a segurança.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear que modela o equilíbrio de forças em três cabos de uma ponte suspensa. As incógnitas são as forças ,F1, ,F2 e ,F3 (em kN), e temos três equações de soma vetorial de forças. O conteúdo é Álgebra Linear (eliminação de variáveis) e vamos usar eliminação gaussiana para encontrar cada Fi.

Passo 2

Escrevemos as equações originais:
(1) F1 + F2 + F3 &= 0, (2) 2F1 + F2 - F3 &= 100, (3) F1 - F2 + 3F3 &= 150
Nosso objetivo é eliminar gradualmente uma variável — por exemplo, ,F3.

Passo 3

Para eliminar F3:
a) Soma (1) + (2):
3F1 + 2F2 + (F3-F3) = 0 + 100 ;Longrightarrow; 3F1 + 2F2 = 100
b) Multiplica (1) por 3 e subtrai (3):
3F1 + 3F2 + 3F3 ;-;(F1-F2+3F3) = 0 - 150 ;Longrightarrow; 2F1 + 4F2 = -150

Passo 4

Agora resolvemos o sistema em
Multiplicando a primeira por :

Passo 5

Usamos ( 1) para achar F3:
F3 = -F1 - F2 = -87,5 - (-81,25) = -6,25 kN

Passo 6

O sinal negativo em F2 e F3 indica que essas forças atuam no sentido oposto ao adotado como positivo. Em termos de estabilidade da ponte, isso significa que dois cabos estão em tensão (puxando para baixo) enquanto um está em compressão (puxando para cima), mantendo o equilíbrio. Resolver sistemas assim é crucial para que cada elemento suporte corretamente sua carga e a ponte não sofra deformações excessivas ou colapso.

Resposta

F1 = 87,5 kN, F2 = -81,25 kN, F3 = -6,25 kN

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