1. (Análise de Materiais) Matrizes representam propriedades de materiais. Um engenheiro de materiais está desenvolvendo um compósito constituído por dois materiais diferentes: fibra de carbono e resina epóxi. As propriedades de tensão e deformação variam em duas direções principais: longitudinal e transversal. A matriz de rigidez do material composto nas duas direções é dada por:
C=[cc EL & nuL T ET nuT L EL & ET ]
Onde:
  • EL é o módulo de elasticidade longitudinal,
  • ET é o módulo de elasticidade transversal,
  • nuL T e nuT L são os coeficientes de Poisson.
Usando EL=150 GPa, ET=10 GPa, nuL T=0.25, e nuT L=0.4, determine a matriz de rigidez do compósito. Aplique uma carga longitudinal e transversal ( sigmaL=50 MPa e sigmaT=20 MPa ) e calcule as deformações resultantes. Discuta a importância dessas propriedades para o projeto de estruturas e componentes.

Passo 1

O enunciado trata da matriz de rigidez de um compósito anisotrópico em duas direções (longitudinal L e transversal T)
e pede ( 1) a matriz C numérica, ( 2) as deformações resultantes de uma carga sigmaL longitudinal e sigmaT transversal, e ( 3) discutir a importância dessas propriedades.
O conteúdo principal é mecânica dos materiais anisotrópicos e uso de matrizes de rigidez e compliance para relacionar tensões e deformações.

Passo 2

Substituímos os valores dados em
C= EL & nuL TET [6pt] nuT LEL & ET
com EL=150 GPa, ET=10 GPa, nuL T=0.25, nuT L=0.4, para obter
C = 150 & 0,25times 10 [4pt] 0,4times150 & 10 = 150 & 2,5 [4pt] 60 & 10 ;(em GPa) ]

Passo 3

Como a relação fundamental é
precisamos inverter para obter
Antes, convertemos as tensões de MPa para GPa usando :
,
.

Passo 4

Calculamos o determinante de C:
det C = 150cdot 10 - 2,5cdot 60 = 1500 - 150 = 1350(GPa^2)
A matriz inversa é
C^-1 = 11350 10 & -2,5 [4pt] -60 & 150 (GPa^-1) ]

Passo 5

Multiplicamos por GPa:
Logo e .]

Passo 6

Essas propriedades anisotrópicas são cruciais no projeto de estruturas compósitas porque permitem otimizar a rigidez e o peso:
– Em L a rigidez alta ( EL) dá grande resistência à flexão e tração.
– Em T a rigidez menor ( ET) e os coeficientes de Poisson geram acoplamentos que podem induzir deformações transversais.
Controlar nuLT e nuTL é vital para evitar empenamentos e falhas por delaminação.

Resposta

C = 150 & 2,5 [4pt] 60 & 10 ,GPa, varepsilonL = 3,33times10^-4, varepsilonT = 0 ]

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