Transforme cada equação polar a seguir em uma equação em coordenadas cartesianas, e identifique o tipo de curva representada.
(c) r=53 sin theta-4 cos theta

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação polar
r = 53sintheta - 4costheta
em coordenadas cartesianas (x,y) e dizer que curva isso representa. Vamos usar as relações básicas
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2 + y^2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação polar pelo denominador para eliminar a fração:
r,(3sintheta - 4costheta) = 5

Passo 3

Usamos rsintheta = y e rcostheta = x. Substituindo na última igualdade:
3,y ;-;4,x = 5

Passo 4

A equação obtida
3y - 4x = 5
é uma reta no plano cartesiano. Em forma mais convencional:
4x - 3y + 5 = 0

Resposta

Equação em coordenadas cartesianas:
3y - 4x = 5
Tipo de curva: reta.

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